Question

（a+c）(a+b+c)<0，abc是实数，求证：（b-c)的平方>4a(a+b+c)

Answer 1

证：
∵ (a+c)(a+b+c)<0
∴(a+c)>0，(a+b+c)<0
或(a+c)<0，(a+b+c)>0
讨论：
(A)(a+c)>0，(a+b+c)<0
-c<a<-b-c
0<a+c<-b,b<0
(1)当a<0,c>0，b<0
∵(b－c)^2-4a(a+b+c)
>(b-c)^2+4c(-c+b+c)
=(b+c)^2≥ 0
∴(b－c)^2>4a(a+b+c)

(2)当c<0，a>0,b<0
∵(a+b+c)<0
4a(a+b+c)<0
(b－c)^2 ≥ 0
∴(b－c)^2 >4a(a+b+c)

同理(B)(a+c)<0，(a+b+c)>0
-b<a+c<0,0<a+b+c<b,
(1)a>0,c<0,b>0
∵(b－c)^2 -4a(a+b+c)
=(b－c)^2 +4c(-c+c+b)
>(b－c)^2 +4bc
≥ 0
∴(b－c)^2 >4a(a+b+c)
(2)a<0
∵(a+b+c)>0
∴4a(a+b+c)<0
∴((b－c)^2 >4a(a+b+c)