Question

设数列{An}是由正数组成的等比数列,公比为q,Sn是其前n项和

证明根号下Sn×Sn+2<Sn+1 (2)设Bn=4／15An+3＋4／5An+1＋2／5An，记数列{Bn}的前n项和为Tn,试比较q^2Sn和Tn的大小

Answer 1

(1)Sn×Sn+2=(Sn+1-An+1)(Sn+1+An+1)=(Sn+1)^2-(An+1)^2
所以根号下Sn×Sn+2<Sn+1
（禅颤春2）Bn=4／15An+3＋4／5An+1＋2／5An=（4/15q^3+4/5q+2/5）An
所以Tn/（q^2Sn）=（4/15q^3+4/5q+2/5）/（q^2）
Tn/（q^2Sn）-1=1/15（4q^3-15q^2+12q+6）
令f（q）=4q^3-15q^2+4q+6
求出f（q）的导函数=12q^2-30q+12 导函数有两贺耐个根2和1/2
说明存在一个极大值f（1/2）=8.75 一个极小值 f（2）=2
说明函洞搏数f（q）在（-无穷大，1/2）单调增 （1/2,2）单调减 （2，正无穷大）单调增
由于q》0 所以f（q）恒大于2 所以有q^2Sn《Tn