Question

如图，已知△ABC中，∠A=60°，BE，CD分别平分∠ABC,∠ACB，P为BE，CD的交点。

问题（证明）：连接AP，AD+AE=根号3AP
需要详细证明，详细过程，急~，在线等......好的提高悬赏！

Answer 1

在BC上截取BF=BD，连接PF

∵BE平分∠ABC，那么∠3=∠4=1/2∠ABC

BP=BP，BD=BF

∴△BDP≌△BFP(SAS)

∴PD=PF，∠BDP=∠BFP

∵CD平分∠ACB，那么∠1=∠2=1/2∠ACB

∠CEP=∠4+∠BAC=1/2∠ABC+60°，

∠BDP=∠BFP=∠2+∠ABC=1/2∠ACB+60°

∴∠CFP=180°-∠BFD

            =180°-1/2∠ACB+60°

           =120°-1/2(180°-∠BAC-∠ABC)

            =120°-1/2(180°-60°-∠ABC)

           =120°-60°+1/2∠ABC

           =1/2∠ABC+60°

∴∠CEP=∠CFP

∵CP=CP，∠1=∠2，∠CEP=∠CFP

∴△CFP≌△CEP(AAS)

∴PF=PE

∴PE=PD

做PM⊥AB于M，PN⊥AC于N

∵P是角平分线交点，

∴PA平分∠BAC，那么∠PAM=∠PAN=30°

PM=PN

∵PE=PD，PM=PN

∴RT△PDM≌RT△PEN(HL)

∴DM=EN

那么AD+AE=AM+DM+AN-EN=AM+AN

∵RT△APM中，∠PAM=30°，那么PM=1/2AP，

∴AM=√3/2   AP

同理：AN=  √3/2   AP

∴AD+AE=√3 /2   AP+√3/2  AP=√3  AP

 

追问

大虾我要的是AD+AE=根号3AP
但你这个，最后一步写的是啥？
没看懂耶

Answer 2

(1)由角平分线性质,DF⊥BE,EF⊥CD

故∠DFE+∠BPC=180

又∠BPC=120,所以∠DFE=60.

连接AP,同理∠FDE=60,∠DEF=60,

所以△DEF为等边三角形

（2）△PBD与△PBF全等 △PCE与△PCF全等 

全等则面积相等,（2）显然成立

（3）P是内心,P向AB,AC作垂线垂足为d,e,所以Pd=Pe

由全等,Dd=Ee,所以AD+AE=Ad+dD+Ae+eE=Ad-丨dD丨+丨eE丨+Ae=2Ad=2Ae=2×（√3/2）AP

所以AD+AE=√3AP

Answer 3

你好，请采纳！
在BC上截取BF=BD，连接PF，易证明三角形BDP≌BFP；CEP≌CFP从而得到DP=EP；过P作PM⊥AB；PN⊥AC；证明DPM≌EPN得到DM=EN，从而得到AD+AE=2AM=2AN，再在直角三角形中用30°角即得到结论。

Answer 4

你写错了吧，D和E是不是弄混了，还有图中有O没有P

追问

不好意思，搞错了，把D和E的位置交换一下，把点O改成P。

大虾帮帮忙啊！！！

Answer 5

p在哪里？ 图错了吧

追问

不好意思，搞错了，把D和E的位置交换一下，把点O改成P。
大虾帮帮忙啊！！！

追答

再没有别的已知条件吗
在BC上截取BF=BD，连接PF，易证明三角形BDP≌BFP；CEP≌CFP从而得到DP=EP；过P作PM⊥AB；PN⊥AC；证明DPM≌EPN得到dm=en，从而得到AD+AE=2AM=2AN，再在直角三角形中用30°角就可以得到结论