Question

高中数学竞赛交流、不求正确答案、只求多种解法。二

D,E,F分别是△ABC的边BC,CA,AB上的点，AD,BE,FC相交于同一点。弱M,N,P分别是EF,FD,DE上的点，求证AM,BN,CP共点的充要条件是DM,EN,FP共点。

Answer 1

如图，连接FG、EG。红色线为相应△的高线，为表述方便，分别用①——⑨表示。

△AME，△AFM等高 →EM/MF=S△AME/S△AFM=（S△AEF-S△AFM）/S△AFM=S△AEF/S△AFM-1

△AEF，△AFM关于AF同底 →EM/MF=S△AEF/S△AFM-1=②/①-1------（1）

③/①=AG/AM=MG/AG-1

=⑨/⑧-1=S△EFG/S△AEF-1

=（S△ABC-S△AEF-S△BFG-S△EGC）/S△AEF-1

=（S△ABC-S△BFG-S△EGC）/S△AEF=（BC⑦-BG⑤-GC⑥）/（AF②）    

1/①=（BC⑦-BG⑤-GC⑥）/（AF②③）                  --------（2）

   ⑤/⑦=FB/AB→⑤=⑦FB/AB；⑥/⑦=EC/AC→⑥=⑦EC/AC；②/④=AE/AC→②=④AE/AC。代入（2），得

 1/①=（BC⑦-BG⑦FB/AB-GC⑦EC/AC）/（AF②③）

       =⑦（BC-BG*FB/AB-GC*EC/AC）/（AF④AE③/AC）

    1/① =⑦AC（BC-BG*FB/AB-GC*EC/AC）/（AF④AE③） ------（3）

 BC⑦=AB④ → ⑦/④ =AB/BC，代入（3），得 

   1/① =AB*AC（BC-BG*FB/AB-GC*EC/AC）/（AF*BC*AE③） -----(4)

      ③/④=BG/BC → ③=④*BG/BC,代入（4），得

    1/① =AB*AC（BC-BG*FB/AB-GC*EC/AC）/（AF*BC*AE④*BG/BC）

    1/① =AB*AC（BC-BG*FB/AB-GC*EC/AC）/（AF*AE④*BG）-----（5）

    将（5）代入（1）得

   EM/MF=②AB*AC（BC-BG*FB/AB-GC*EC/AC）/（AF*AE④*BG）-1---（6）

   ②/④=AE/AC代入上式得，

   EM/MF=AE*AB*AC（BC-BG*FB/AB-GC*EC/AC）/（AF*AE*AC*BG）-1

   EM/MF=AB（BC-BG*FB/AB-GC*EC/AC）/（AF*BG）-1

        =（AB*BC-BG*FB-GC*EC*AB/AC）/（AF*BG）-1

        =（AB*BC-BG*FB-GC*EC*AB/AC-AF*BG）/（AF*BG）

        =[AB*BC-BG*（FB+AF）-GC*EC*AB/AC]/（AF*BG）

        =[AB*BC-BG*AB-GC*EC*AB/AC]/（AF*BG）

        =[AB*（BC-BG）-GC*EC*AB/AC]/（AF*BG）

        =[AB*GC-GC*EC*AB/AC]/（AF*BG）

        =[AB*GC-GC*EC*AB/AC]/（AF*BG）

        =AB*GC（1-EC/AC）/（AF*BG）

        =[AB*GC（AC-EC）/AC]/（AF*BG）

      EM/MF  =AB*GC*AE/（AC*AF*BG）

同理可得，FN/ND=BC*HA*FB/（AB*BD*CH）

          DP/PE=AC*IB*DC/（BC*CE*AI）

 所以 （EM/MF） * （FN/ND） * （DP/PE）

   =（AB*GC*AE*BC*HA*FB*AC*IB*DC）/（AC*AF*BG*AB*BD*CH*BC*CE*AI）

   =（GC*AE*HA*FB*IB*DC）/（AF*BG*BD*CH*CE*AI）

   =（AE/EC)*(CD/DB)*(BF/FA)*(AH/HC)*(CG/GB)*(BI/IA)

   因为AD、BE、CF三线共点，根据赛瓦定理，所以（AE/EC)*(CD/DB)*(BF/FA)=1，代入上式，得

   （EM/MF）*（FN/ND）*（DP/PE）=(AH/HC)*(CG/GB)*(BI/IA)

    根据赛瓦定理的可逆性，原题得证！