Question

概率疑惑(⊙o⊙)？

在抛硬币的试验中,至少抛多少次,才能使正面出现的频率落在(0.4,0.6)区间的概率不小于0.9?
先谢谢你提供的详细解题过程。我也觉得至少抛250次，可教材上的答案是69，没有过程。这道题目出自中心极限定律，可能要求用棣莫弗——拉普拉斯中心极限定律。能告诉我用中心极限的解题过程或否定69这个结果。

Answer 1

设抛一次出现正面的次数为X，
E(X) = 0.5
Var(X) = 0.25
抛n次出现正面的概率为Xn，可以看出Xn是n个独立同分布的变量的和:
E（Xn）=nE(X) = 0.5n
Var(Xn)=nVar(X) = 0.25n
按照中心极限定理，当你抛硬币的次数n较大时，正面出现的频率X / n接近于一个正态分布。这个正分布的期望为 E(Xn / n）= 0.5，
方差为 Var(Xn / n) = Var(Xn) / n^2 = 0.25/n
现在就是问n要多大，才能使一个Y ~ N（0.5，0.25/n)的正态随机变量在在(0.4,0.6)区间的概率不小于0.9。
P（ 0.4 < Y < 0.6)
= P ( -0.1 / (0.25/n)^0.5 < (Y-0.5)/ (0.25/n)^0.5 < 0.1 / (0.25/n)^0.5)) > 0.9
中间那个就是一个标准正态分布了，查正态分布表，标准正态的上95%分位数是1.65，那么就是 0.1/0.5 * n^0.5 > 1.65 推出 n > 68.0625,最后结果是69.