Question

下列常数项级数的和：(2^n)/[(3^n)*(2n-1)]，详细步骤，谢谢

Answer 1

　　解：【为表述方便一些，设x=[(2/3)^(1/2)，显然x<1】
　　∵(2^n)/[(2n-1)3^n]=[1/(2n-1)](2/3)^n=[1/(2n-1)][(2/3)^(1/2)]^(2n)=[1/(2n-1)]x^(2n)=x[1/(2n-1)]x^(2n-1)，设S=∑[1/(2n-1)]x^(2n-1)，∴对x求导，有S'=∑x^(2n-2)=1/(1-x^2)。∴S=∫dx/(1-x^2)=(1/2)ln丨(1+x)/(1-x)丨+C。又，收敛域内的任意x，对S均成立，∴令x=0，得C=0，
　　∴S=(1/2)ln丨(1+x)/(1-x)丨，原式=(x/2)ln丨(1+x)/(1-x)丨=[(√6)/3]ln(√3+√2)。供参考。

追问

最后结果x代入（2/3）^1/2后得不到[(√6)/3]ln(√3+√2)啊

追答

　　可以得到。过程是，x=(2/3)^(1/2)=√6/3，(1+x)/(1-x)=[(1+x)^2]/(1-x^2)=(1+2x+x^2)/(1-x^2)=(1+2√6/3+2/3)/(1-2/3)=5+2√6=(√3+√2)^2，
　　∴(x/2)ln[(1+x)/(1-x)]=[(√6)/3]ln(√3+√2)。供参考。