Question

设非齐次线性方程组(如图)，确定当λ取何值时，方程组有唯一解、无解、有无穷多解？

Answer 1

显然当λ=1时，r(A)=r(A|b)=1, 方程组有无穷多组解

下面讨论λ≠1的情况，并对增广矩阵进行初等行变换

λ 1 1 1
1 λ 1 λ
1 1 λ λ²

第1、3行减去第2行，
λ-1 1-λ 0 1-λ

1 λ 1 λ
0 1-λ λ-1 λ²-λ

对第1、3行，提取公因子λ-1 ，得到
1 -1 0 -1

1 λ 1 λ
0 -1 1 λ

第2行减去第1行，
1 -1 0 -1

0 λ+1 1 λ+1
0 -1 1 λ

第2行减去第3行
1 -1 0 -1

0 λ+2 0 1
0 -1 1 λ

因此，当λ+2=0时，r(A)=2≠3=r(A|b)，此时无解

其余情况，r(A)=r(A|b)=3，方程组有唯一解

Answer 2