Question

已知函数f(x)=(1/x)-klnx(k≠0)。 (1).k=1时，求f(x)的单调区间和极值 (2).若f(x)=k有解，求k取值范围

Answer 1

f(x)=(1/x)-klnx(k≠0)
定义域：x＞0

(1)
k=1时
f(x)=(1/x)-lnx
∵1/x ↓； lnx ↑
∴f(x) = (1/x)-lnx ↓
∴单调减区间 （0，+∞）
极值不存在

（2）
f(x)=(1/x)-klnx=k (k≠0)

首先，k＞0时：
∵1/x ↓； klnx ↑
∴f(x) = (1/x)-lnx ↓
∴ f(x)值域为R
∴k＞0时，f(x)=(1/x)-klnx=k 有解

第二，k＜0时：
f ′ (x) = -1/x²-k/x = -k(x+1/k)/x²
减区间（0，-1/k)，增区间（-1/k，+∞)
必须极小值 f(1/k) = k-kln(-1/k) = k+kln(-k) ≥ k
kln(-k) ≥ 0
ln(-k)≤0
-k≤1
∴-1≤k＜0

综上：-1≤k＜0，或k＞0