Question

高数：幂级数展开式问题，如图！

Answer 1

　　解：分享一种用间接展开法展开的解法。
　　∵lgx=(1/ln10)lnx=(1/ln10)ln[(1+(x-1)]，
　　而在-1<x-1≤1，即x∈(0,2]时，ln[(1+(x-1)]=∑[(-1)^(n-1)][(x-1)^n]/n(n=1,2,……，∞），
　　∴lgx=(1/ln10)ln[(1+(x-1)]=∑[(-1)^(n-1)][(x-1)^n]/n，其中x∈(0,2]，n=1,2,……，∞。供参考。

追问

那也之前的什么问题？

追答

　　答：用0到x的定积分处理，一般情况下f(0)不会出现反常情形，如本题中的lnx趋于-∞等。其实，是可以用不定积分的处理方式来规避的。
　　如本题，如果用不定积分，积分后，f(x)=∑[(-1)^n)][(x-1)^(n+1)]/(n+1)+C，对收敛区间内任意x均处理，∴令x=1，得C=0，∴f(x)=∑[(-1)^n)][(x-1)^(n+1)]/(n+1)。供参考。

追问

令的x如果在大于0上，随便取得话，那不是有很多答案

追答

　　展开式在收敛区间内，对任意x均成立，类似于“恒等式”，是唯一的。理论上说可以取很多x的值，对应求出常数C的值来使“恒等式”成立，但“劳动量”会很大，常常利用特殊的值来简化计算。如本题中，令x=1，得C=0就是“典型”。供参考。

Answer 2

不能用0到x，应该用1到x

追问

我看题目基本上0～x的，这个取为什么大部分是0，这里却用1

追答

要看具体情况，lgx在0点没意义，所以得换，换什么都行

追问

那随便换的话，求出来的答案不是各种各样了

？

追答

看起来各种各样，实际上一样