贝塞尔函数的基本内容
贝塞尔函数（Bessel functions）是数学上的一类特殊函数的总称。一般贝塞尔函数是下列常微分方程（一般称为'''贝塞尔方程'''）的标准解函数。
这类方程的解是无法用初等函数系统地表示的。可以运用自动控制理论中的相平面法进行定性分析。 被称为其对应贝塞尔函数的阶数。实际应用中最常见的情形为 是整数，对应解称为 阶贝塞尔函数。 尽管在上述微分方程中，本身的正负号不改变方程的形式，但实际应用中仍习惯针对 和 定义两种不同的贝塞尔函数（这样做能带来好处，比如消除了函数在 点的不光滑性）。 贝塞尔方程是在柱坐标或球坐标下使用分离变量法求解拉普拉斯方程和亥姆霍兹方程时得到的（在圆柱域问题中得到的是<U>整阶</U>形式 α = ''n''；在球形域问题中得到的是<U>半奇数阶</U>形式 α = ''n''+½），因此贝塞尔函数在波动问题以及各种涉及<U>有势场</U>的问题中占有非常重要的地位，最典型的问题有： * 在圆柱形波导中的电磁波传播问题； * 圆柱体中的热传导定律|热传导问题； * 圆形（或环形）薄膜的振动模态分析问题； 在其他一些领域，贝塞尔函数也相当有用。譬如在信号处理中的调频合成（w:Frequency modulation synthesis|FM synthesis）或凯泽窗（w:Kaiser window|Kaiser window）的定义中，都要用到贝塞尔函数。
贝塞尔函数的一个实例：一个紧绷的鼓面在中心受到敲击后的二阶振动振型，其振幅沿半径方向上的分布就是一个贝塞尔函数（考虑正负号）。实际生活中受敲击的鼓面的振动是各阶类似振动形态的叠加。 第一类 阶贝塞尔函数 是贝塞尔方程当 为整数或 ;非负时的解，须满足在 时有限。这样选取和处理''J''<sub>α</sub>的原因见本主题下面的贝塞尔函数#性质|性质介绍；另一种定义方法是通过它在点的泰勒级数展开（或者更一般地通过幂级数展开，这适用于α为非整数）：
上式中 为Γ函数（它可视为阶乘|阶乘函数向非整型因变量和自变量|自变量的推广）。第一类贝塞尔函数的形状大致与按 速率衰减的正弦或三角函数|余弦函数类似（参见本页下面对它们渐进形式的介绍），但它们的零点并不是周期性的，另外随着''x''的增加，零点的间隔会越来越接近周期性。图2所示为0阶、1阶和2阶第一类贝塞尔函数 的曲线（ ）。 如果α不为整数，则<math>J_\alpha (x)</math>和<math>J_{-\alpha} (x)</math>线性无关，可以构成微分方程的一个'''解系'''。反之若<math>\alpha</math>是整数，那么上面两个函数之间满足如下关系： :<math>J_{-\alpha}(x) = (-1)^{\alpha} J_{\alpha}(x)\,</math> 于是两函数之间已不满足线性无关条件。为寻找在此情况下微分方程与<math>J_\alpha (x)</math>线性无关的另一解，需要定义'''第二类贝塞尔函数'''，定义过程将在后面的小节中给出。 整阶（α = ''n''）第一类贝塞尔函数''J''<sub>''n''</sub>常通过对其'''母函数'''（''generating function''）的罗朗级数（w:Laurent series|Laurent series）展开来定义： :<math>e^{(x/2)(t-1/t)} = \sum_{n=-\infty}^\infty J_n(x) t^n,</math> 上式得左边即为整阶第一类贝塞尔函数的母函数，这是丹麦天文学家w:Peter Andreas Hansen|汉森于1843年提出的。（这种定义也可以通过路径积分或其他方法推广到非整数阶）。整阶函数的另一个重要性质是下列'''雅可比-安格尔恒等式'''（''Jacobi-Anger identity''）： :<math>e^{iz \cos \phi} = \sum_{n=-\infty}^\infty i^n J_n(z) e^{in\phi},</math> 利用这一等式可以将平面波展开成一系列柱面波的叠加，或者将频率调制|调频信号分解成傅里叶级数的叠加。 函数''J''<sub>α</sub>、''Y''<sub>α</sub>、''H''<sub>α</sub><sup>(1)</sup>和''H''<sub>α</sub><sup>(2)</sup>均满足递推关系： :<math>Z_{\alpha-1}(x) + Z_{\alpha+1}(x) = \frac{2\alpha}{x} Z_\alpha(x)</math> :<math>Z_{\alpha-1}(x) - Z_{\alpha+1}(x) = 2\frac{dZ_\alpha}{dx}</math> 其中''Z''代表''J'', ''Y'', ''H''<sup>(1)</sup>或''H''<sup>(2)</sup>。（常将这两个恒等式联立推出其他关系）。从这组递推关系可以通过低阶贝塞尔函数（或它们的低阶导数）计算高阶贝塞尔函数（或它们的高阶导数）。特别地，有： :<math>\left( \frac{d}{x dx} \right)^m \left[ x^\alpha Z_{\alpha} (x) \right] = x^{\alpha - m} Z_{\alpha - m} (x)</math> :<math>\left( \frac{d}{x dx} \right)^m \left[ \frac{Z_\alpha (x)}{x^\alpha} \right] = (-1)^m \frac{Z_{\alpha + m} (x)}{x^{\alpha + m}}</math> 由于贝塞尔方程对应的作用算符除以''x'' 后便是一个（自伴随的）厄米算符（w:Hermitian|Hermitian），所以它的解在适当的边界条件下须满足正交性关系。特别地，可推得： :<math>\int_0^1 x J_\alpha(x u_{\alpha,m}) J_\alpha(x u_{\alpha,n}) dx = \frac{\delta_{m,n}}{2} J_{\alpha+1}(u_{\alpha,m})^2,</math> 其中α > -1，δ<sub>''m'',''n''</sub>为克罗内克尔δ，''u''<sub>α,m</sub>表示''J''<sub>α</sub>(''x'')的第''m'' 级零点。这个正交性关系可用于计算傅里叶-贝塞尔级数中各项的系数，以利用该级数将任意函数写成α固定、''m'' 变化的函数''J''<sub>α</sub>(''x'' ''u''<sub>α,m</sub>)的无穷叠加形式。（可以立即得到球贝塞尔函数相应的关系）。 另一个正交性关系是下列在α > -1/2时成立的“封闭方程”（''closure equation''）： :<math>\int_0^\infty x J_\alpha(ux) J_\alpha(vx) dx = \frac{1}{u} \delta(u - v)</math> 其中δ为狄拉克δ函数。球贝塞尔函数的正交性条件为（当α > 0）： :<math>\int_0^\infty x^2 j_\alpha(ux) j_\alpha(vx) dx = \frac{\pi}{2u^2} \delta(u - v)</math> 贝塞尔方程的另一个重要性质与其朗斯基行列式（w:Wronskian|Wronskian）相关，由阿贝尔恒等式（w:Abel's identity|Abel's identity）得到： :<math>A_\alpha(x) \frac{dB_\alpha}{dx} - \frac{dA_\alpha}{dx} B_\alpha(x) = \frac{C_\alpha}{x},</math> 其中''A''<sub>α</sub> 和''B''<sub>α</sub>是贝塞尔方程的任意两个解，''C''<sub>α</sub>是与''x'' 无关的常数（由α和贝塞尔函数的种类决定）。譬如，若''A''<sub>α</sub> = ''J''<sub>α</sub>、''B''<sub>α</sub> = ''Y''<sub>α</sub>，则''C''<sub>α</sub> is 2/π。该性质在修正贝塞尔函数中同样适用，譬如，若''A''<sub>α</sub> = ''I''<sub>α</sub>、''B''<sub>α</sub> = ''K''<sub>α</sub>，则''C''<sub>α</sub>为-1。 cs:Besselova funkce de:Besselsche Differentialgleichung en:Bessel function es:Función de Bessel fi:Besselin funktiot fr:Fonction de Bessel it:Funzioni di Bessel ja:ベッセル関数 ko:베셀 함수 nl:Besselfunctie pl:Funkcje Bessela pt:Função de Bessel ru:Функции Бесселя sl:Besslova funkcija sv:Besselfunktion uk:Функція Неймана
