Question

求高数大神帮忙解一下第3题，谢谢！

Answer 1

　　解：∵f(x)=-π/4，-π<x≤0、f(x)=π/4，0<x≤π，T=2π，
　　∴a0=(1/π)∫(-π,π)f(x)dx=0，
　　an=(1/π)∫(-π,π)f(x)cosnxdx=0，bn=(1/π)∫(-π,π)f(x)sinnxdx=(-1/4)∫(-π,0)sinnxdx+(1/4)∫(0,π)sinnxdx=[1-(-1)^n]/(2n)，
　　∴f(x)=[1/(2n)]∑[1-(-1)^n]sinnx，即f(x)=∑[1/(2n-1)]sin(2n-1)x](n=1,2,……，∞)。
　　令x=π/2，则f(π/2)=π/4=-∑(-1)^n/(2n-1)，即1-1/3+1/5-……-(-1)^n/(2n-1)=π/4。
　　而1-1/3+1/5-1/7+1/9-……+……=1+1/5-1/7+……-(1/3)(1-1/3+1/5……），
　　∴1+1/5-1/7+……=(π/4)+(1/3)(π/4)=π/3。供参考。