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积分区域被直线 x+y=π/2 划分为两块
D1：0≤y≤π/4，y≤x≤π/2-y
D2：π/4≤x≤π/2，π/2-x≤y≤x
因此原式=
∫(0，π/4)dy∫(y，π/2-y) cos(x+y) dx
- ∫(π/4，π/2)dx∫(π/2-x，x) cos(x+y) dy
=∫(0，π/4) (1-cos2y) dy
-∫(π/4，π/2) (cos2x-1) dx
=∫(0，π/2) (1-cos2x) dx
=x - 1/2*sin2x | (0，π/2)
=π/2 。
意义
当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积。
当被积函数小于零时，二重积分是柱体体积负值。
在空间直角坐标系中，二重积分是各部分区域上柱体体积的代数和，在xoy平面上方的取正，在xoy平面下方的取负。某些特殊的被积函数f（x，y）的所表示的曲面和D底面所为围的曲顶柱体的体积公式已知，可以用二重积分的几何意义的来计算。
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北京埃德思远电气技术咨询有限公司
2023-08-25 广告
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