Question

高等数学,用定义求二重积分

如图所示,要用定义来求解

Answer 1

积分区域被直线 x+y=π/2 划分为两块

D1：0≤y≤π/4，y≤x≤π/2-y

D2：π/4≤x≤π/2，π/2-x≤y≤x

因此原式=

∫(0，π/4)dy∫(y，π/2-y) cos(x+y) dx

- ∫(π/4，π/2)dx∫(π/2-x，x) cos(x+y) dy

=∫(0，π/4) (1-cos2y) dy

-∫(π/4，π/2) (cos2x-1) dx

=∫(0，π/2) (1-cos2x) dx

=x - 1/2*sin2x | (0，π/2)

=π/2 。

意义

当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积。

当被积函数小于零时，二重积分是柱体体积负值。

在空间直角坐标系中，二重积分是各部分区域上柱体体积的代数和，在xoy平面上方的取正，在xoy平面下方的取负。某些特殊的被积函数f（x，y）的所表示的曲面和D底面所为围的曲顶柱体的体积公式已知，可以用二重积分的几何意义的来计算。

Answer 2

以下过程供题主参考

Answer 3

如图所示

仅供参考