Question

函数f(x)=ax+b,当|x|小于等于1，都有|f(x)|小于等于1.求证：|b|小于等于1，|a|小于等于1

Answer 1

f(x)=ax+b为一次函数，具有单调性
-1<=x<=1
则f(x)在-a+b与a+b之间
都有|f(x)|小于等于1
则
-1<=-a+b<=1 （1）
-1<=a+b<=1 （2）
（1）+（2）得
-1<=b<=1
（2）-（1）得
-1<=a<=1
证毕

Answer 2

当|x|小于等于1时,都有|f(x)|小于等于1
所以有|f(1)|<=1，|f(-1)|<=1，即
-1=<a+b<=1
-1=<-a+b<=1
两式相加得
-2=<2b<=2
-1=<b<=1
|b|<=1

-1=<-a+b<=1
所以-1=<a-b<=1
又-1=<a+b<=1
两式相加得
-2=<2a<=2
-1=<a<=1
即|a|<=1