Question

关于极限的计算问题，红框里的那一步是怎么得到的，最好有详细过程，谢谢

Answer 1

　　解：分子有理化后，有tanx-sinx=(1-cosx)tanx，而1/[(1+tanx)^(1/2)+(1+sinx)^(1/2)]在x=0是连续函数，其值为1/2，故，有“□”内的第一步。
　　又，[(1-cosx)tanx]/{x[ln(1+x)-x]}在x=0时，属“0/0”型，用洛必达法则【其中，为简化计算，用了“tanx~sinx~x”】，∴有“□”内过程。
　　供参考。

追问

我知道方法，就是洛必达法则那一步的简化计算怎么也算不对，所以才来求详细过程的。。。TAT

追答

　　∵x→0时，tanx~sins~x，
　　∴lim(x→0)[(1-cosx)tanx]/{x[ln(1+x)-x]}=lim(x→0)[(1-cosx)x]/{x[ln(1+x)-x]}=lim(x→0)(1-cosx)/[ln(1+x)-x]，用洛必达法则，
　　∴lim(x→0)(1-cosx)/[ln(1+x)-x]=lim(x→0)sinx/[1/(1+x)-1]=lim(x→0)sinx/[-x/(1+x)]。
　　供参考。【另外，本题也可以全部用无穷小量替换来做。】