Question

lim√1+tanx-√1+sinx/xln（1+x）-x^2，x趋近于0

Answer 1

结果为：lim(x→0){x²/[ln(1+x)-x]}

解题过程如下：

lim(x趋近于0){[√(1+tanx)-√(1+sinx)]/[xln(1+x)-x^2]}

(tanx-sinx)[√(1+tanx)+√(1+sinx)]

lim(x→0){[√(1+tanx)-√(1+sinx)]/[xln(1+x)-x²]}

= lim(x→0){1/[√(1+tanx)+√(1+sinx)]}*lim(x→0){(tanx-sinx)/[xln(1+x)-x²]}

= (1/2)*lim(x→0){(tanx-sinx)/[xln(1+x)-x²]}

= (1/2)*lim(x→0)[(sinx/x)(1/cosx)]*lim(x→0)[(1-cosx)/x²]*lim(x→0){x²/[ln(1+x)-x]}

=lim(x→0){x²/[ln(1+x)-x]}

扩展资料

求函数极限的方法：

利用函数连续性，直接将趋向值带入函数自变量中，此时要要求分母不能为0。

当分母等于零时，就不能将趋向值直接代入分母，因式分解，通过约分使分母不会为零。若分母出现根号，可以配一个因子使根号去除。

如果趋向于无穷，分子分母可以同时除以自变量的最高次方。（通常会用到这个定理：无穷大的倒数为无穷小）

采用洛必达法则求极限，当遇到分式0/0或者∞/∞时可以采用洛必达，其他形式也可以通过变换成此形式。符合形式的分式的极限等于分式的分子分母同时求导。

Answer 2

适当的括号是必须的，免得产生歧义：
lim(x趋近于0){[√(1+tanx)-√(1+sinx)]/[xln(1+x)-x^2]}，
手机不好写，给个提示：
分子有理化，得到
(tanx-sinx)[√(1+tanx)+√(1+sinx)]，
分母可以先求极限；分子与其它项用罗必达法则，……。

追问

分子有理化之后看不懂了

追答

　　学数学的人不要用 “看” 字，小说才是看的，动动手就有：
　　　　lim(x→0){[√(1+tanx)-√(1+sinx)]/[xln(1+x)-x²]}
　　　= lim(x→0){1/[√(1+tanx)+√(1+sinx)]}*lim(x→0){(tanx-sinx)/[xln(1+x)-x²]}
　　　= (1/2)*lim(x→0){(tanx-sinx)/[xln(1+x)-x²]}
　　　= (1/2)*lim(x→0)[(sinx/x)(1/cosx)]*lim(x→0)[(1-cosx)/x²]*lim(x→0){x²/[ln(1+x)-x]}
　　　= ……
其中
　　　lim(x→0){x²/[ln(1+x)-x]}
用罗必达法则，……。