高一数学 数列放缩 求过程
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证:
an(an-1)=[2ⁿ/(2ⁿ-1)][2ⁿ/(2ⁿ-1) -1]=2ⁿ/(2ⁿ-1)²
a₁(a₁-1)=2/(2-1)²=2
a₂(a₂-1)=2²/(2²-1)²=4/9
a(n+1)[a(n+1)-1]/an(an-1)
=[2ⁿ⁺¹/(2ⁿ⁺¹-1)²]/[2ⁿ/(2ⁿ-1)²]
=2(2ⁿ-1)²/(2ⁿ⁺¹-1)²
=½(2ⁿ⁺¹-2)²/(2ⁿ⁺¹-1)²
=½[(2ⁿ⁺¹-1-1)/(2ⁿ⁺¹-1)]²
=½[1- 1/(2ⁿ⁺¹-1)]²
=½-1/[2(2ⁿ⁺¹-1)²]
<½
n=1时,a₁(a₁-1)=2<3,不等式成立
n≥2时,
n
∑ ai(ai-1)
i=1
=a1(a1-1)+a2(a2-1)+...+an(an-1)
<2+ 4/9+ (4/9)×½+...+(4/9)×½ⁿ⁻²
=2+ (4/9)×(1-½ⁿ⁻¹)/(1-½)
=2+ (8/9)(1-½ⁿ⁻¹)
=26/9 -(8/9)·½ⁿ⁻¹
(8/9)·½ⁿ⁻¹>0,26/9 -(8/9)·½ⁿ⁻¹<26/9<3
不等式同样成立
综上,得:
n
∑ ai(ai-1) <3
i=1
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an(an-1)=[2ⁿ/(2ⁿ-1)][2ⁿ/(2ⁿ-1) -1]=2ⁿ/(2ⁿ-1)²
a₁(a₁-1)=2/(2-1)²=2
a₂(a₂-1)=2²/(2²-1)²=4/9
a(n+1)[a(n+1)-1]
=[2ⁿ⁺¹/(2ⁿ⁺¹-1)²]
<2ⁿ⁺¹/(2ⁿ)²=1/2ⁿ-¹,n>1
n=1时,a₁(a₁-1)=2<3,不等式成立
n>1时
n
∑ ai(ai-1)
i=1
=a1(a1-1)+a2(a2-1)+...+an(an-1)
<2+ 1/2+ (1/2)²+...+(1/2)∧ⁿ⁻1
=2+ (1/2)(1-½ⁿ⁻¹)/(1-1/2)
<2+(1/2)/(1/2)
=3
不等式同样成立
综上,得:
n
∑ ai(ai-1) <3
i=1
a₁(a₁-1)=2/(2-1)²=2
a₂(a₂-1)=2²/(2²-1)²=4/9
a(n+1)[a(n+1)-1]
=[2ⁿ⁺¹/(2ⁿ⁺¹-1)²]
<2ⁿ⁺¹/(2ⁿ)²=1/2ⁿ-¹,n>1
n=1时,a₁(a₁-1)=2<3,不等式成立
n>1时
n
∑ ai(ai-1)
i=1
=a1(a1-1)+a2(a2-1)+...+an(an-1)
<2+ 1/2+ (1/2)²+...+(1/2)∧ⁿ⁻1
=2+ (1/2)(1-½ⁿ⁻¹)/(1-1/2)
<2+(1/2)/(1/2)
=3
不等式同样成立
综上,得:
n
∑ ai(ai-1) <3
i=1
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此题的解题思路为:可以用数学归纳法进行证明。
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