Question

高一数学 数列放缩 求过程

Answer 1

证：

an(an-1)=[2ⁿ/(2ⁿ-1)][2ⁿ/(2ⁿ-1) -1]=2ⁿ/(2ⁿ-1)²

a₁(a₁-1)=2/(2-1)²=2

a₂(a₂-1)=2²/(2²-1)²=4/9

a(n+1)[a(n+1)-1]/an(an-1)

=[2ⁿ⁺¹/(2ⁿ⁺¹-1)²]/[2ⁿ/(2ⁿ-1)²]

=2(2ⁿ-1)²/(2ⁿ⁺¹-1)²

=½(2ⁿ⁺¹-2)²/(2ⁿ⁺¹-1)²

=½[(2ⁿ⁺¹-1-1)/(2ⁿ⁺¹-1)]²

=½[1- 1/(2ⁿ⁺¹-1)]²

=½-1/[2(2ⁿ⁺¹-1)²]

<½

n=1时，a₁(a₁-1)=2<3，不等式成立

n≥2时，

n

∑  ai(ai-1)

i=1

=a1(a1-1)+a2(a2-1)+...+an(an-1)

<2+ 4/9+ (4/9)×½+...+(4/9)×½ⁿ⁻²

=2+ (4/9)×(1-½ⁿ⁻¹)/(1-½)

=2+ (8/9)(1-½ⁿ⁻¹)

=26/9 -(8/9)·½ⁿ⁻¹

(8/9)·½ⁿ⁻¹>0，26/9 -(8/9)·½ⁿ⁻¹<26/9<3

不等式同样成立

综上，得：

n

∑  ai(ai-1)  <3

i=1

Answer 2

an(an-1)=[2ⁿ/(2ⁿ-1)][2ⁿ/(2ⁿ-1) -1]=2ⁿ/(2ⁿ-1)²
a₁(a₁-1)=2/(2-1)²=2
a₂(a₂-1)=2²/(2²-1)²=4/9
a(n+1)[a(n+1)-1]
=[2ⁿ⁺¹/(2ⁿ⁺¹-1)²]
<2ⁿ⁺¹/(2ⁿ)²=1/2ⁿ-¹,n>1
n=1时，a₁(a₁-1)=2<3，不等式成立
n>1时
n

∑ ai(ai-1)
i=1
=a1(a1-1)+a2(a2-1)+...+an(an-1)
<2+ 1/2+ (1/2)²+...+(1/2)∧ⁿ⁻1
=2+ (1/2)(1-½ⁿ⁻¹)/(1-1/2)

<2+(1/2)/(1/2)
=3
不等式同样成立
综上，得：
n
∑ ai(ai-1) <3
i=1

Answer 3

此题的解题思路为：可以用数学归纳法进行证明。