Question

线性代数行列式 D=a b c d

线性代数行列式 D=a b c d
a^2 b^2 c^2 d^2
a^3 b^3 c^3 d^3
b+c+d a+c+d a+b+d a+b+c

Answer 1

第1行，加到第4行，
然后提取第4行公因子a+b+c+d，
然后第4行向上冒泡排序（与上一行使用3次对换），化成范德蒙行列式，得到
-(a+b+c+d)*
1 1 1 1
a b c d

a^2 b^2 c^2 d^2
a^3 b^3 c^3 d^3

=
-(a+b+c+d)*
(d-c)(d-b)(d-a)(c-b)(c-a)(b-a)
=-(a+b+c+d)(d-c)(d-b)(d-a)(c-b)(c-a)(b-a)

Answer 2

第 2 列 -1 倍加到第 1 列， 第 3 列 -1 倍加到第 2 列，
第 4 列 -1 倍加到第 3 列， 得 D =
| a-b b-c c-d d|
|a^2-b^2 b^2-c^2 c^2-d^2 d^2|
|a^3-b^3 b^3-c^3 c^3-d^3 d^3|
| b-a c-b d-c a+b+c|
第 1 行加到第 4 行， 得 D =
| a-b b-c c-d d|
|a^2-b^2 b^2-c^2 c^2-d^2 d^2|
|a^3-b^3 b^3-c^3 c^3-d^3 d^3|
| 0 0 0 a+b+c+d|
得 D = (a+b+c+d)*
| a-b b-c c-d |
|a^2-b^2 b^2-c^2 c^2-d^2|
|a^3-b^3 b^3-c^3 c^3-d^3|
D = (a+b+c+d)(a-b)(b-c)(c-d)*
| 1 1 1 |
|a+b b+c c+d|
|a^2+ab+b^2 b^2+bc+c^2 c^2+cd+d^2|
第 2 列 -1 倍加到第 1 列， 第 3 列 -1 倍加到第 2 列，得
D = (a+b+c+d)(a-b)(b-c)(c-d)*
| 0 0 1 |
|a-c b-d c+d|
|a^2-c^2+b(a-c) b^2-d^2+c(-d) c^2+cd+d^2|
D = (a+b+c+d)(a-b)(b-c)(c-d)*
|a-c b-d|
|(a-c)(a+b+c) (b-d)(b+c+d)|
D = (a+b+c+d)(a-b)(b-c)(c-d)(a-c)(b-d)*
|1 1|
|a+b+c b+c+d|
D = (a+b+c+d)(a-b)(b-c)(c-d)(d-a)(a-c)(b-d)