Question

请教一道积分的证明题

假定所涉及的反常积分（广义积分）收敛，
证明：∫f(x-(1/x))dx=∫f(x)dx(等式的两边积分上限是正无穷，下限是负无穷)
书中是这样证明的，令t=x-(1/x),由二次函数的解法可得x=(t+（或-）(((t^2)+4)^(1/2)))/2,当x>0时，x=(t+(((t^2)+4)^(1/2)))/2；当x<0时，x=(t-(((t^2)+4)^(1/2)))/2(其余的步骤省略)，对于这一步，我有一个疑问：x=(t+（或-）(((t^2)+4)^(1/2)))/2是由t=x-(1/x)解出来的，那么对于t=x-(1/x)这个式子，无论x是什么值，都能解出x=(t+（或-）(((t^2)+4)^(1/2)))/2，那么为什么x>0时，x=(t+(((t^2)+4)^(1/2)))/2；当x<0时，x=(t-(((t^2)+4)^(1/2)))/2，按照我的理解，无论x大于0还是小于0，应该都是x=(t+（或-）(((t^2)+4)^(1/2)))/2，实在看不出这两个根中，哪个是正，哪个是负。

Answer 1

如图。

另一方面，从t=x-(1/x)的图像上看，x=0处无定义，图像分左右支。反解后相当于求反函数（关于直线t=x做对称），于是原来的右支变为恒大于零，左支恒小于零。所以书上的证明是对的。