Question

帮忙详细解释三道高三数学

1.设集合M={x|x=sin(n pai/3),n属于Z},则满足空集真包含于X,X包含于M的集合X共有____个
2.设对满足|m|小等于的一切实数m,不等式2x-1>m(x^2-1)恒成立,求x的取值范围
3.不等式|x+3|-|x-1|小等于a^2-3a对任意实数x恒成立,求实数a的取值范围
!!!上面第二题,算到g(m)=(x^2-1)m-(2x-1),就没思路了

Answer 1

1.对于集合M={x|x=sin(nπ/3),n∈Z},由于正弦函数的周期为2π,所以
M中元素的取值可能为sin(0·π/3),sin(1·π/3),sin(2·π/3),sin(3·π/3),sin(4·π/3),sin(5·π/3)
即M={0,√3/2,-√3/2}

“空集真包含于X,X包含于M”的意思是X是M的非空子集，而M中有3个元素，所以其非空子集个数为2^3-1=7个。

2.题目应该是"|m|≤2"吧
得到g(m)=（x²-1)m-(2x-1)，我们得到关于m的一次不等式g(m)＜0；
视m为自变量(主元），g(m)的图象是一条线段（一次函数和常数函数的图象均为直线，在区间|m|≤2的部分就是线段）,于是g(m)＜0就需要这条线段在x轴下方，这只需要线段的两个端点在x轴下方就可以了,也就是
g(2)＜0,且g(-2)＜0
从而解得x∈(-1/2+√7/2,1/2+√3/2)

PS:
如果视x为主元，可以使用分离变量的方法，但运算量非常大：
1°当x²＝1时，若x=1不等式显然成立，若x=-1不等式显然不成立；
2°当x²＞1时,则m＜(2x-1)/(x²-1),所以
[(2x-1)/(x²-1)]min≥(m)max=2
...(略）
3°当x²＜1时,则m＞(2x-1)/(x²-1),所以
[(2x-1)/(x²-1)]max≥(m)min=-2
...（略）

3.对任意实数x，|x+3|-|x-1|≤a²-3a
等价于 (|x+3|-|x-1|)max≤a²-3a
等价于 4≤a²-3a
等价于 a≤-1或a≥4