Question

考研概率论 步骤不太懂：概率论多维随机变量证明题 证P（Xn>max（X1、X2、……Xn-1））=1/n

如图红线下面是参考答案，从P到积分这一步不知道是什么意思，为什么要有两层积分呢？
还有 为什么最外面的积分是从正无穷到负无穷？求P不是负无穷到Xn吗？

Answer 1

0、引言

本题的多维随机变量 {X1, X2, ... Xn} 看起来吓人，但各成分独立同分布，所以只是二维随机变量的简单拓展。

1、从概率到积分

要算概率，就要用到分布函数，就要用到概率密度。

所以首先考虑此多维变量的概率密度函数。

由二维变量的性质可推知，此多维变量的概率密度函数就是 Xi 们的密度函数连乘：

其次，考虑积分域。

这里的 max 函数等价于 {X1<Xn, X2<Xn, ..., Xn-1<Xn}

最终的 n 重积分写出来就是：

注意积分域是 xi < xn，i = 1, 2, ..., n

2、积分的计算

由于 n-1 个 xi 都和 xn 有关，所以把 xn 积分限取为正负无穷，然后令其他每重积分的积分限为负无穷到 xn：

后边的 n-1 重积分，其实就是概率密度积分得到概率分布的基本定义式：

之后就是很简单的指数函数积分，书上的过程再省略也应该能看懂了。

后记：

这道题我看零几年就有人问，很多人只是进行了定性分析，我费了好大劲才找到1条严密的计算推理（https://zhidao.baidu.com/question/493439899.html?qbl=relate_question_0&word=P%7Bxn%3Emax%28xn-1%29%7D），用的方法还比较烦——但确实启发了我，感谢前辈。

虽然提问的这位可能已经在读研了，但考虑到以后也会有同学感到困惑，所以整理了这份答案。整理的同时我自己也加深了对多维随机变量的理解，可谓是多赢。

各位考研加油！

Answer 2

分情况1.x1>x2时,max（x1,x2）=x1,1/2 (x1+x2+|x1-x2|)=1/2 (x1+x2+x1-x2)=x1,所以,max（x1,x2）=1/2 (x1+x2+|x1-x2|)
2,x1
概率论里就是这样理解的，可以把x1,x2看做事件的