Question

1.矩阵不同的特征值对应的特征向量一定线性无关吗 2.相同特征值对应的特征向量会不会线性无关

Answer 1

1、矩阵不同的特征值对应的特征向量一定线性无关
证明如下：
假设矩阵A有两个不同特征值k,h，相应特征向量是x,y

其中x,y线性相关，不妨设y=mx，因此，得到
Ax=kx【1】
Ay=hy=hmx
即Amx=hmx【2】
而根据【1】有
Amx=kmx【3】
【2】-【3】，得到
0=(h-k)mx
由于特征向量x非零向量，而h,k两个特征值不相同，即h-k不为0
则m=0，则y=mx=0，这与特征向量非零向量，矛盾！
因此假设不成立，从而结论得证
2、相同特征值对应的特征向量不一定线性无关
因为，某个特征值的一个特征向量的非零倍数，也是该特征值的特征向量
但两个特征向量，因为是倍数关系，因此是线性相关的。
又例如，如果一个特征值，相应特征方程解出来，基础解系中有多个解向量，这些解向量是线性无关的，且都是此特征值的特征向量。

Answer 2

1、矩阵不同的特征值对应的特征向量一定线性无关

2、相同特征值对应的特征向量可能线性相关。因为某个特征值的一个特征向量的非零倍数，也是该特征值的特征向量

Answer 3

特征值不同 是 特征向量线性无关的 充分不必要条件。
1.充分条件很容易理解。
2.必要条件的理解。
由对称矩阵的性质可得：k重特征值必有k个线性无关的特征向量。
也就是说：对于对称矩阵，无论有没有相同的特征值，它的特征向量都是线性无关的。所以由后边不能推到前边。

Answer 4

1. 是
2. 可能会

Answer 5