Question

幂级数的收敛域及和函数，如图。

Answer 1

解：∵ρ=lim(n→∞)丨an+1/an丨=(1/2)lim(n→∞)n/(n+1)=1/2，∴收敛半径R=1/ρ=2。
又，lim(n→∞)丨un+1/un丨=丨x丨/R<1，∴丨x丨<R=2，即收敛区间为丨x丨<2。
当x=2时，级数∑x^n/[n2^(n-1)]=∑1/n，是p=1的p-级数，发散；当x=-2时，级数∑x^n/[n2^(n-1)]=∑[(-1)^n]/n，是交错级数，满足莱布尼兹判别法的条件，收敛。∴收敛域为x∈[-2,2)。
设S=∑x^n/[n2^(n-1)]，y=x/2，∴S=2∑(y^n)/n。由S两边对y求导、丨y丨<1时，S'=2/(1-y)。∴S=2∫(0,y)dy/(1-y)=-2ln(1-y)=2ln2-2ln(2-x)。即∑x^n/[n2^(n-1)]=2ln2-2ln(2-x)。
令x=1，∴∑1/[n2^(n-1)]=2ln2。
供参考。

追问

x=2时级数为什么不是∑2/n呢

Answer 2

设和函数为S(x)，那么1/2*S(x)=Σ(n=1→∞)x^n/(n*4^n)，an=1/(n*4^n)
于是收敛半径R=lim(n→∞)n次根号1/an=4
又令x/4=t，得1/2*S(x)=Σnt^n=t/(1-t)²
自己把t换回x