Question

有关导数与极限。答案是错误，我算的是正确，为什么？

Answer 1

你的解法不对：
1、首先，根据题设，不能确定f(0)是否有定义，也有可能f(0)根本就不存在或者没有意义，此种情况在分段函数中非常常见；
2、其次，原极限虽然存在，不能导出极限lim(x→0) [f(x)-f(0)]/x和极限lim(x→0) [f(-x)-f(0)]/(-x)存在，原因是，当limA(x)和limB(x)都存在时，lim[A(x)+B(x)]=limA(x)+limB(x)成立，否则不一定成立！例如，绝对值函数：f(x)=|x|，可以带入上面，显然是不成立的！
3、题设也不是很严密，因为对A的情况没有加以说明，如果严密一点，应该明确说明，A是常数！
4、正确的思路是：
1）根据题意，导出：f(x)-f(-x)=Ax+o(x)，其中o(x)是包含x和-x的高阶无穷小！
2）∀ε>0，∃δ>0，当0<|x-0|<δ时，|[f(x)-f(-x)]/x - A|<ε成立