Question

已知a、b都是正数，x、y均属于全体实数，且a+b=1，证明：

ax2+by2>=（ax+by）2
注：题目中数字“2”是2次方的意思。

Answer 1

要证ax²+by²≥(ax+by)²
即证ax²+by²-(ax+by)²≥0
化简ax²+by²-（a²x²+b²y²+2abxy)≥0
整理得ax²-a²x²+by²-b²y²-2abxy≥0
a(1-a)x²+b(1-b)y²-2abxy≥0
abx²+aby²-2abxy≥0 （a+b=1得a=1-b,b=1-a,代入上式即可）
ab(x²+y²-2xy)≥0
ab(x-y)²≥0
ab为正数，(x-y)²≥0
所以ab(x-y)²≥0
所以ax²+by²≥(ax+by)²

Answer 2

由Cauchy不等式得
(ax^2+by^2)(a+b)=左式≥右式