Question

如图所示,已知抛物线y=x∧2-1与x轴交于A.B两点,与y轴交于c

如图所示,已知抛物线y=x∧2-1与x轴交于A.B两点,与y轴交于c
1.求A.B.C三点的坐标。
2.过点A作AP‖CB交抛物线于点P，求四边形ACBP的面积
3.在X轴上方的抛物线上是否存在一点M，使得三角形ABM与三角形ABC面积相等？若存在，请求M点的坐标；若不存在，请说明理由。

Answer 1

解：
（1）令y=0,则A(-1,0) ,B(1,0);令x=0,y=-1,则C(0,-1)
(2)因为AP‖CB，所以CB斜率=AP斜率
所以kAP=1
那么,直线AP方程为：y=x+1
与抛物线联解得：P（2,3）
则S四边形ACBP=S三角形ABP+S三角形ABC=4
（3）因为S三角形ABC=1=S三角形ABM=0.5*|AB|*yM (yM即M纵坐标）
代入抛物线得：x=+ -√2
即存在M点，且M为（+ -√2，1）

Answer 2

1,令Y=0得X^2-1=0
∴X=±1
∴A(-1,0), B(1,0) C(0,-1)
2, 直线BC解折式为Y=X-1
故设AP解折式为Y=X+M
将X=-1, Y=0代入0=-1+M
∴M=1
∴AP解折式为Y=X+1
联立Y=X+1, Y=X^2-1得X1=2,Y1=3, X2=-1, Y2=0
∴P(2, 3)
∴S四边形ACBP=1/2*2(3+1)=4
3, 可知∠PAB=45°,∠BAC=45°
∴∠PAC=90°
又AC=√2, AP=3√2
若△AMG与△ACP相似则AG:MG=AP:AC=3,或AG:MG=AC:AP=1/3
设M(a,a^2-1)若a>0则a^2-1=3(a-1)或a^2-1=1/3(a-1)
得a=2∴M(2,3)
利用对称性,另一个M(-2,3)
∴M(2,,3)或(-2,3)

Answer 3

1,令Y=0得X^2-1=0
∴X=±1
∴A(-1,0), B(1,0) C(0,-1)
2, 直线BC解折式为Y=X-1
故设AP解折式为Y=X+M
将X=-1, Y=0代入0=-1+M
∴M=1
∴AP解折式为Y=X+1
联立Y=X+1, Y=X^2-1得X1=2,Y1=3, X2=-1, Y2=0
∴P(2, 3)
∴S四边形ACBP=1/2*2(3+1)=4
3, 可知∠PAB=45°,∠BAC=45°
∴∠PAC=90°
又AC=√2, AP=3√2
若△AMG与△ACP相似则AG:MG=AP:AC=3,或AG:MG=AC:AP=1/3
设M(a,a²-1)若a>0则a^2-1=3(a-1)或a^2-1=1/3(a-1)
得a=2∴M(2,3)
利用对称性,另一个M(-2,3)
∴M(2,,3)或(-2,3)

Answer 4

1、A,B,C三点的坐标很好求；分别是（-1,0），（1,0）（0，-1）
2、因为A,B,C三点的坐标已知，可以看出AOB,BOC均为直角等边三角形（其中O为原点），所以AC垂直于AP，又因为AP‖CB，所以梯形ACBP的面积为（AP+BC）*AC/2，根据AP直线与抛物线相交，所以面积为4
3、存在，根据面积相等，又因为底相等，所以只要高相等即可，即ABM的高为1，所以M（2½，1）或（-2½，1）。