Question

是否对于任意正整数n，都能找到一个n的倍数，它全都由0和1组成

Answer 1

呵呵，这应该是一个富有挑战意义的猜想。怎么完美的证明似乎还有待更尖端的人才来进行。不过，就简单的罗列来看，这个结论应该确实如此！
0&1：不必说了，它们本身就符合条件和结论；
2：可以由10证明；
3：对应111
4：对应100
5：对应10
6：对应1110
7：对应1001
8：对应1000
9：对应111111111
所以，任何正整数都可以找出对应的【0&1】数作为其倍数。

Answer 2

首先：如果两个整数K1和K2除以n有相同的余数，那么k1-k2将是n的倍数（容易证明）。其次，我们构造一个数列全由1组成直至n+1个1（1， 11， 111， 1111，..., n+1个1），并让数列中的每个数除以整数n, 由鸽巢原理必定至少有两个数除以n有相同的余数（除以整数n可能的余数个数为n个）, 那么这两个数中大的那个减去小的那个必定是n的倍数且由0、1组成。

Answer 3

可以这样证明：
随便给一个正整数N，构建序列1, 11, 111, ..., 111...1(N+1个1）
这个序列的每一个数除以N都会有余数，余数的取值有0, 1, ..., N - 1，一共N种
所以由抽屉原理这个序列里必有两个数除以N余数相等，即这两个数相减得到的数全由0和1组成且是N的倍数。