Question

高一不等式的证明题. 2.已知a,b,c∈R+,求证:bc/a + ac/b + ab/c ≥a+b+c

已知a,b,c∈R+求证c2/a + a2/b + b2/c ≥a+b+c
已知a,b,c,d∈R+求证(ab+cd)9ac+bd)≥4abcd

Answer 1

用公式： a+b≥2√ab (a>0,b>0）
左边=1/2（bc/a+bc/a)+1/2(ac/b+ac/b)+1/2(ab/c+ab/c)
=1/2(bc/a+ac/b)+1/2(bc/a+ab/c)+1/2(ac/b+ab/c)
≥1/2 * 2c+1/2 * 2b + 1/2 * 2a =a+b+c

Answer 2

已知a,b,c∈R+求证c2/a + a2/b + b2/c ≥a+b+c
已知a,b,c,d∈R+求证(ab+cd)9ac+bd)≥4abcd

Answer 3

（1）bc/a + ac/b + ab/c≥a+b+c
证：左右同时乘2abc ,则变为
2b^2c^2+2c^2a^2+2a^2b^2≥2a^2bc+2b^2ca+2c^2ab
<==>（左边减去右边）得
a^2(b-c)^2+b^2(c-a)^2+c^2(a-b)^2≥0
显然成立

（2）已知a,b,c∈R+求证c2/a + a2/b + b2/c ≥a+b+c

证明：两边乘abc得 bc^3+ca^3+ab^3≥a^2bc+b^2ca+c^2ab
<==>bc^3+ca^3+ab^3-(a^2bc+b^2ca+c^2ab)≥0
即ab(b-c)^2+bc(c-a)^2+ca(a-b)^2≥0
此为显然

(3)已知a,b,c,d∈R+求证(ab+cd)（ac+bd)≥4abcd
左边减右边
(ab+cd)（ac+bd)-4abcd
=bc(a-d)^2+ad(b-c)^2≥0

此为显然