Question

求大神！ 反导计算题，需要详细过程！

Answer 1

(1)
设f(x)=x(4+x^99)sinx
=(4x+x^100)sinx
=4x*sinx+x^100*sinx
将f(x)分为g(x)=4x*sinx和h(x)=x^100*sinx
g(-x)=-4x*sin(-x)=g(x)
h(-x)=x^100sin*(-x)=-x^100*sinx=-h(x)
所以g(x)为偶函数，h(x)为奇函数
根据偶倍奇零的积分原则，在对称积分区间上，g(x)为2倍的(0→π/2)积分值，h(x)=0
所以
原式=2∫(0→π/2) 4x*sinx
=8∫(0→π/2) xsinx
=-8∫xd(cosx)
=-8xcosx+8∫cosxdx (应用分部积分法)
=-8xcosx+8sinx+C (C是积分常数)。
=8-0
=8
(2)
原式=∫(4e^x +8-8-2)/(e^x+2) dx
=∫[4-10/(e^x+2)] dx
=∫4dx-10∫1/(e^x+2) dx
左半部分好求，我先求右半部分
∫1/(2+e^x)dx
＝∫e^(-x)/(2+e^(-x))dx
＝-∫1/(2+e^(-x))d(1+e^(-x))
＝-ln(2+e^(-x))＋C
＝-ln((2+e^x)/e^x)＋C
＝x-ln(2+e^x)＋C
所以原式
=4x-10[x-ln(2+e^x)]+C
=-9x+ln(2+e^x)+C
=-9ln2+ln(2+2)-0-ln3
=-9ln2+2ln2-ln3
=-7ln2-ln3
(3)
原式=∫(x^4+2x³+x²+x²+1)/(x^6+2x^4+x²) dx
=∫[x²(x²+2x+1)+(x²+1)]/x²(x^4+2x²+1)dx
=∫(x²+2x+1)/(x^4+2x²+1) dx+∫(x²+1)/x²(x^4+2x²+1) dx
=∫(x+1)²/(x²+1)² dx+∫(x²+1)/x²(x²+1)² dx
=∫[(x+1)/(x²+1)]² dx+∫1/x²(x²+1) dx
=∫[(x+1)/(x²+1)]² dx+∫1/x² dx-∫1/(x²+1) dx
先算
∫[(x+1)/(x²+1)]² dx
=∫[(x/(x²+1)+1/(x²+1)]² dx
=∫[(x/(x²+1)]²dx+∫2x/(x²+1) dx+∫1/(x²+1)² dx
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追答

然后算∫[(x/(x²+1)]²dx
令x=tanu，则x²+1=sec²u，dx=sec²udu
∫x^2/(x^2+1)^2dx
=∫ [tan²u/(secu)^4]sec²udu
=∫ tan²u/sec²udu
=∫ (sec²u-1)/sec²udu
=∫ 1 du - ∫ cos²u du
=u - (1/2)∫ (1+cos2u) du
=u - (1/2)u - (1/4)sin2u + C
=(1/2)u - (1/2)sinucosu + C
=(1/2)arctanx - (1/2)x/(1+x²) + C

然后算∫1/(x²+1)²
令x=tany
则∫1/[(x^2+1)]^2dx=∫1/secy^4dtany=∫1/secy^2dy=∫cosy^2dy
=∫(cos2y+1)/2dy=y/2-sin2y/4+c
y=arctanx
所以=arctanx/2-sin(2arctanx)/4+c

∫2x/(x²+1) dx
=ln(x²+1)+c

所以原式=(1/2)arctanx - x/[2(1 + x²)]-ln(x²+1)+arctanx/2-sin(2arctanx)/4-1/x-arctanx+C
数值你自己代入吧，这题算的我累死了

(4)
x≥1时，|x-1|=x-1，|x|=x
0＜x＜1时，|x-1|=1-x，|x|=x
x≤0时，|x-1|=1-x，|x|=-x
原式=
∫(1→2)(1+x-1)/(2+x)dx+∫(0→1)(1+1-x)/(2+x) dx+∫(-1→1)(1+1-x)/(2-x) dx
=∫x/(2+x) dx+∫(2-x)/(2+x) dx+∫dx
算∫(1→2) x/(2+x)
=∫dx-2∫1/(x+2) dx
=x-2ln(x+2)
=2-2ln4-1+2ln3
=1-2ln4+2ln3

再算∫(0→1)(2-x)/(2+x)dx
=-∫dx+4∫1/(2+x)dx
=-x+4ln(2+x)
=-1+4ln3-4ln2

再算∫(-1→0) dx
=x
=1
所以原式=1-2ln4+2ln3-1+4ln3-4ln2+1
=-4ln2+6ln3-4ln2+1
=-8ln2+6ln3+1

积分值你自己再算下，只要确认不定积分算出来对就没多大问题