Question

设z=y/f(x²-y²),其中f(u)为可导函数，求z对x和y的偏导数

设z=y/f(x²-y²),其中f(u)为可导函数，求z对x和y的偏导数答案写的是: z对x偏导=[-y·f'(u)·2x]/f²(u)
其中[-y·f'(u)]/f²(u)是z对f(u)整体求偏导，2x是u对x求偏导，但是这个函数似乎是三层复合？f(u)的解析式并没有给出，所以答案不是应该再乘一个f'(u)吗？
如果是z=y/(x²-y²)的情况我觉得才是答案写的这个，是我哪里想错了?

Answer 1

解：
分析，管它几层复合，这种题，谁还计较复合不复合？偏导题都是先判断自变量，和因变量，至于复合的层数，不用关心！总之，就是链式法则就对了！
∂z/∂x
=-y·{∂[f(x²-y²)]/∂x}/f²(x²-y²)
=-y·{f'(x²-y²)·[∂(x²-y²)/∂x]}/f²(x²-y²)
=-y·[f'(x²-y²)·2x]/f²(x²-y²)
=-2xyf'(x²-y²)/f²(x²-y²)

链式法则：
∂z/∂x=(∂z/∂u)·(∂u/∂v)·(∂v/∂t)·(∂t/∂p).........·(∂m/∂x)
其中：∂u/∂v,∂v/∂t,∂t/∂p,.........∂m/∂x均存在全微分
上述很简单，可用偏导定义证明！