Question

高数 第6题

Answer 1

角t的积分范围是[0,2π]。

角g积分化范围是[0,π]。
r的积分范围是[0,1]。
被积函数=
=x²+y²+z²+2xy+2yz+2zx。
其中x²+y²+z²=r²。
x=rsingcost。
y=rsingsint。
z=rcosg。
积分的体积元素是r²sing。
则被积函数化成=
=r^4[1+sin³gsin2t+2sin²gcosgsint+2sin²gcosgcost]。
共四项。
先对r积分得到数值1/5。
再对g积分时，
上述后面的两项积分值是0。
其中第二项中的
sin³g=sin²gsing
=(1-cos²g)sing
=sing-cos²gsing。
据此计算第二项对g的积分，
得到结果=(4/3)sin2t。
则本题积分=
=(1/5)∫<0到2π>【π+(4/3)sin2t】dt
=2π²/5。