Question

已知f(x)=1/(2的x次方-1)+a是奇函数,求a的值域及函数值域 此非选择填空，需具体步骤

Answer 1

奇函数
f(x)+f(-x)=0
1/(2^x-1)+a+1/(2^-x-1)+a=0
1/(2^x-1)+a+2^x/(1-2^x)+a=0
1/(2^x-1)+a-2^x/(2^x-1)+a=0
(1-2^x)/(2^x-1)+2a=0
-1+2a=0
a=1/2

2^x>0
2^x-1>-1
所以1/(2^x-1)<-1,1/(2^x-1)>0
a=1/2
所以值域是f(x)<-1/2,f(x)>1/2

Answer 2

解：f(x)=1/(2^x-1)+a,由于f(x)是奇函数，所以f(x)=-f(-x),而f（-x）=1/[2^(-x)-1]+a,代入f(x)=-f(-x)得：1/(2^x-1)+a=-1/[2^(-x)-1]-a，化简得
2^x/(2^x-1)-1/(2^x-1)=2a,得a=1/2.
由于f(x)=1/(2^x-1)+a,且2^x>0，所以f(x)>-1/2