Question

如何讲清楚多元函数全微分与偏导数的关系？

Answer 1

　　dz=fx(x,y)Δx+fy(x,y)Δy，dz是全微分，fx、fy是对x、y的偏导数。
　　如果函数z=f(x, y) 在(x, y)处的全增量
　　Δz=f(x+Δx,y+Δy)-f(x,y)
　　可以表示为
　　Δz=AΔx+BΔy+o(ρ)，
　　其中A、B不依赖于Δx, Δy，仅与x,y有关，ρ趋近于0(ρ=√[(Δx)2+(Δy)2])，此时称函数z=f(x, y)在点（x，y）处可微分，AΔx+BΔy称为函数z=f(x, y)在点(x, y)处的全微分，记为dz即
　　dz=AΔx +BΔy
　　该表达式称为函数z=f(x, y) 在(x, y)处(关于Δx, Δy)的全微分。
　　在数学中，一个多变量的函数的偏导数，就是它关于其中一个变量的导数而保持其他变量恒定（相对于全导数，在其中所有变量都允许变化）。偏导数在向量分析和微分几何中是很有用的。
　　在一元函数中，我们已经知道导数就是函数的变化率。对于二元函数我们同样要研究它的“变化率”。然而，由于自变量多了一个，情况就要复杂的多。
　　在xOy平面内，当动点由P(x0,y0)沿不同方向变化时，函数f(x,y)的变化快慢一般说来是不同的，因此就需要研究f(x,y)在(x0,y0)点处沿不同方向的变化率。
　　在这里我们只学习函数f(x,y)沿着平行于x轴和平行于y轴两个特殊方位变动时，f(x,y)的变化率。
　　偏导数的算子符号为:∂。
　　偏导数反映的是函数沿坐标轴正方向的变化率。
　　表示固定面上一点的切线斜率。
　　偏导数f'x(x0,y0)表示固定面上一点对x轴的切线斜率；偏导数f'y(x0,y0)表示固定面上一点对y轴的切线斜率。
　　高阶偏导数：如果二元函数z=f(x,y)的偏导数f'x(x,y)与f'y(x,y)仍然可导，那么这两个偏导函数的偏导数称为z=f(x,y)的二阶偏导数。
　　二元函数的二阶偏导数有四个：f"xx，f"xy，f"yx，f"yy.
　　注意：f"xy与f"yx的区别在于：前者是先对x求偏导，然后将所得的偏导函数再对y求偏导；后者是先对y求偏导再对x求偏导.当f"xy与f"yx都连续时，求导的结果与先后次序无关。

Answer 2

1.偏导数不存在,全微分就不存在
2.全微分若存在,偏导数必须存在
3.有偏导数存在,全微分不一定存在

微分是函数改变量的线性主要部分，导数是微积分中的重要基础概念。当函数y=f(x)的自变量x在一点x0上产生一个增量Δx时，函数输出值的增量Δy与自变量增量Δx的比值在Δx趋于0时的极限a如果存在，a即为在x0处的导数。

Answer 3

1、偏导数，partial differentiation，一般是指沿着 x 方向、或 y 方向、
或 z 方向的导数；导数在美语中，喜欢用 derivative。
2、无论是沿着 x、y、z 哪个方向的导数，计算导数的方法，跟一元函数
求导数的方法，完全一样；对 x 方向求导时，将 y、z 当成常数对待；
3、进一步推广到任意方向，在任意方向上的导数，称为方向导数，directional
differentiation，或 directional derivative；
4、方向导数的概念，其实也是偏导数的概念，但是写成全导数的形式；
5、方向导数写成全导数 total differentiation 的形式，原因是方向导数的
计算一般是由 x、y、z 三个方向的偏导数的分量 component 相加而成；
6、全导数，就是全微分，在英文中没有丝毫区别，导数跟微分的区别是中国
微积分概念，不是国际通用微积分的概念；
7、全微分的意思是 ： 函数的的无穷小增量 du，来源于三个方向上的无穷小
相加而成，即 du = (∂u/∂x)dx + (∂u/∂y)dy + (∂u/∂z)dz。

欢迎追问，欢迎讨论，中英文不限。
最好是用英文讨论，因为用英文讨论，不会产生中文中的歧义，看英文网站
不会出现概念的误解，中文微积分的一些概念在英文中是不存在的，会产生
误会而难以准确理解国际微积分的真实含义。