如图,△ABC中,AB=AC,D为BC上的一点,使BD:CD=m:n(m>0、n>0),E为AD的中点,联结CE并延长交AB于F 1、求A
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第一个问题:
过D作DG∥BA交CE于G。
∵DG∥FA,AE=DE,∴△AFE≌△DGE,∴AF=DG。
∵DG∥BF,∴△CDG∽△CBF,∴DG/BF=CD/CB。
由AF=DG、DG/BF=CD/CB,得:AF/BF=CD/CB。
而BD∶CD=m∶n,∴CD/CB=n/(m+n),结合证得的AF/BF=CD/CB,
得:AF∶BF=n∶(m+n)。
第二个问题:
当BF=2AF时,由第一个问题的结论,有:AF∶BF=n∶(m+n)=1∶2,∴m+n=2n,
∴m=n,可见此时AD是△ABC的中线,显然有AD⊥BC。
即:AD是BC的垂直平分线。
第三个问题:
如果F是AB的中点,那么就有:AF∶BF=1,得:n∶(m+n)=1,∴n=m+n,∴m=0。
这与题设中的m>0矛盾,∴F不可能是AB的中点。
过D作DG∥BA交CE于G。
∵DG∥FA,AE=DE,∴△AFE≌△DGE,∴AF=DG。
∵DG∥BF,∴△CDG∽△CBF,∴DG/BF=CD/CB。
由AF=DG、DG/BF=CD/CB,得:AF/BF=CD/CB。
而BD∶CD=m∶n,∴CD/CB=n/(m+n),结合证得的AF/BF=CD/CB,
得:AF∶BF=n∶(m+n)。
第二个问题:
当BF=2AF时,由第一个问题的结论,有:AF∶BF=n∶(m+n)=1∶2,∴m+n=2n,
∴m=n,可见此时AD是△ABC的中线,显然有AD⊥BC。
即:AD是BC的垂直平分线。
第三个问题:
如果F是AB的中点,那么就有:AF∶BF=1,得:n∶(m+n)=1,∴n=m+n,∴m=0。
这与题设中的m>0矛盾,∴F不可能是AB的中点。
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