大一 高数 二重积分问题 求详细过程 谢谢
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证明：
根据二重积分中值定理：
∃(ε,μ)∈D={(x,y)|x²+y²≤t²}，使得：
∫∫(D) f√(x²+y²) dxdy
=f[√(ε²+μ²)]·πt²
原题
=lim(t→0+) f[√(ε²+μ²)]·πt²/πt³
=lim(t→0+) f[√(ε²+μ²)]/t
=lim(t→0+) {{f[√(ε²+μ²)]-f(0)}/√(ε²+μ²)} · √(ε²+μ²)/t
显然，当t→0+时，√(ε²+μ²)→0+，因此：
原题
=lim(t→0+) f[√(ε²+μ²)]·πt²/πt³
=lim(t→0+) f[√(ε²+μ²)]/t
=f'(0)·lim(t→0+) √(ε²+μ²)/t
=f'(0)
根据二重积分中值定理：
∃(ε,μ)∈D={(x,y)|x²+y²≤t²}，使得：
∫∫(D) f√(x²+y²) dxdy
=f[√(ε²+μ²)]·πt²
原题
=lim(t→0+) f[√(ε²+μ²)]·πt²/πt³
=lim(t→0+) f[√(ε²+μ²)]/t
=lim(t→0+) {{f[√(ε²+μ²)]-f(0)}/√(ε²+μ²)} · √(ε²+μ²)/t
显然，当t→0+时，√(ε²+μ²)→0+，因此：
原题
=lim(t→0+) f[√(ε²+μ²)]·πt²/πt³
=lim(t→0+) f[√(ε²+μ²)]/t
=f'(0)·lim(t→0+) √(ε²+μ²)/t
=f'(0)
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上海桦明教育科技
2024-12-15 广告
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没见过二重积分的极限题。
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转换成了极坐标
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