Question

已知a,b为不相等的两个正数，且b=(a+3)/(a+1),试将√3，a，b，(a+b)/2四个数按从小到大的顺序排列

已知a,b为不相等的两个正数，且b=(a+3)/(a+1),试将√3，a，b，(a+b)/2四个数按从小到大的顺序排列，并说明你的结论。
各位帮帮忙 要有详细的解答过程和文字说明 谢谢

Answer 1

（1）当0<a<√3时，
b=(a+3)/(a+1)=[2/(a+1)]+1>[2/(√3+1)]+1=(√3-1)+1=√3，即b>√3>a，
（理由：把b看成是关于a的函数b=f(a)，函数b=f(a)在（0，√3）上为减函数）
b+a=[2/(a+1)]+(a+1) ∈（2√2，2√3），即(b+a)/2∈（√2，√3），∴(b+a)/2<√3，
（理由：把y=b+a看成是关于a的函数y=f(a)，函数y=f(a)在（0，√2-1）上为减函数，在（√2-1，√3）上为增函数）
又在b>a的条件下，易知a<(a+b)/2<b，
∴此时四个数的从小到大的顺序为：a<(a+b)/2<√3<b；

（2）当a=√3时，b=(a+3)/(a+1)= √3，∴√3=a=b=(a+b)/2；

（3）当a>√3时，
b=(a+3)/(a+1)=[2/(a+1)]+1<[2/(√3+1)]+1=(√3-1)+1=√3，即b<√3<a，
b+a=[2/(a+1)]+(a+1) ∈（2√3，＋∞），即(b+a)/2∈（√3，＋∞），∴(b+a)/2>√3，
又在b<a的条件下，易知a>(a+b)/2>b，
∴此时四个数的从小到大的顺序为：b<√3<(a+b)/2<a；

综上，①当0<a<√3时，四个数的从小到大的顺序为：a<(a+b)/2<√3<b；
②当a=√3时，四个数都相等；
③当a>√3时，四个数的从小到大的顺序为：b<√3<(a+b)/2<a.

Answer 2

首先要发现，a，b的大小不一定，所以要分类讨论，找到ab相等的分界，即假设a=b，可解得a=b=√3，即以√3为界，分别讨论。a大于√3时，用a-b可求得a>b,反之a小于√3时a<b,剩下的用想减或相除的原理即可很容易求出，具体数你就自己算吧，我在电脑前就不动笔了~~