Question

正方形ABCD中，P为内部一点，连接AP,DP,∠DAP=1∠ADP=15°，连接BP,CP,求证：△PBC是等边△

正方形ABCD中，P为内部一点，连接AP,DP,∠DAP=∠ADP=15°，连接BP,CP,求证：△PBC是等边△

Answer 1

因为△DEP是等边三角形，所以DP=DE=EP，所以，∠PDE=60度，所以∠EDC=90-15-60=15度。

又因为∠PDA=15度=∠EDC，ED=PD，AD=DC，所以△APD≌△DEC，

因为AP=DP，所以DE=CE=EP，得到∠EPC=∠ECP

又因为∠EPC+∠ECP=180-∠EPD-∠PDC-∠ECD=180-60-75-15=30度，

所以∠EPC=∠ECP=15度，

可以得到∠DPC=∠PDC=75度，所以DC=PC

同理可以证明AB=PB

得到PB=PC=BC

所以△BPC为等边三角形。

Answer 2

在△APD中，∠DAP=∠ADP=15°
∴△APD为等腰三角形，PA=PD
在正方形ABCD中，∠BAP=∠PDC=90°-15°=75°
又AB=DC
∴△APB≌△DPC，BP=CP
由P点向BC引垂线PE交BC于E，即PE⊥BC
∴△PAE和△PEB都为直角三角形
又BP=CP
∴△PAE≌△PEB，BE=CE，∠BPE=∠CPE
∴PE为BC的中线，也为∠BPC的角平分线
∵等边三角形每条边上的中线、高线和所对角的平分线互相重合（三线合一）
∴△PBC是等边三角形