Question

f(x)在[a,b]连续且f(x)>0，证明∫f(x)dx·∫1/f(x)dx≥(b-a)²。

f(x)在[a,b]连续且f(x)>0，证明∫f(x)dx·∫1/f(x)dx≥(b-a)²。注：上面的积分的上下限分别是b和a。
请用构造变上限函数的方法证明！

Answer 1

本题要求f(x)在(a,b)上恒正（或恒负）
左边=∫[a→b] f(x)dx∫[a→b] 1/f(x)dx
积分变量可随便换字母
=∫[a→b] f(x)dx∫[a→b] 1/f(y)dy
这样变成一个二重积分
=∫∫ f(x)/f(y)dxdy 其中：积分区域是a≤x≤b,a≤y≤b,这个区域具有轮换对称性
=(1/2)∫∫ [f(x)/f(y) + f(y)/f(x)] dxdy 原因是∫∫ f(x)/f(y)dxdy=∫∫ f(y)/f(x)dxdy
≥(1/2)∫∫ 2 dxdy 这里用了个平均值不等式
=∫∫ 1 dxdy
=(b-a)²=右边

Answer 2