Question

初三二次函数压轴题

Answer 1

(1) C(0, 3), 令B(t, 0), t > 2

tan∠CBA = 1/2 = OC/OB = 3/t = 1/2, t = 6

B(6, 0)

y = a(x - 2)(x - 6)

代入x = 0, y = 3, 得a = 1/4

y = (1/4)x² - 2x + 3

(2)

抛物线的对称轴为x = (2+6)/2 = 4, 顶点D(4, -1)

四边形ACBD的面积 = △ABC的面积+△ABD的面积 = (1/2)*AB*OC + (1/2)*AB*|D的纵坐标|

= (1/2)*(6-2)*3 + (1/2)*(6-2)*1 = 9

(3)

tan∠CBA = 1/2, ∠CBA与BC的倾斜角互补，BC的斜率 = -tan∠CBA = -1/2

如果B为直角顶点，则BE的斜率为-1/(-1/2) = 2, 方程为y = 2(x - 6)

与抛物线联立，得E(10, 8)

如果C为直角顶点，则CE的斜率为-1/(-1/2) = 2, 方程为y = 2x + 3， 与抛物线联立，得E(16, 35)

Answer 2

B点坐标为(6,0)

将A(2,0),B(6,0),C(0,3)代入函数式可得
4a+2b+c=0,
36a+6b+c=0,
c=3
解得a=1/4,b=-2,c=3
所以二次函数的表达式是1/4*x²-2x+3

顶点横坐标为(2+6)/2=4,代入求得顶点的纵坐标为-1,即D点坐标为(4,-1)
四边形ACBD的面积为(6-2)*3/2+(6-2)*1/2=8

三角形BCE中BC是直角边,另一条直角边可能是CE或BE,
先设BC的直线方程为y=kx+b,将B(6,0),C(0,3)两点坐标代入,
可得6k+b=0,b=3,所以k=-1/2,BC直线方程为y=-1/2*x+3,

若CE是另一条直角边,则CE直线方程的k值为-1÷(-1/2)=2,CE又过点C(0,3),所以CE的直线方程为y=2x+3,此直线方程与二次函数的交点为
y=2x+3,y=1/4*x²-2x+3这两个方程的共同解。解得结果为x1=0(舍),x2=16,将x=16代入二次函数,求得E点纵坐标为35,即CE为另一直角边时E点坐标为(16,35)

同理，若BE为另一直角边也可以求出对应的E点的坐标。这个问题就留给你自己去解决吧。