Question

一道超难数学几何题！！！

一个等边三角形的一个顶点A为定点，另一个顶点在一条固定的直线L上，判断并证明该三角形第3个顶点的轨迹。

Answer 1

不妨设A为原点，L为x=1，B(1,y)在L上。

则向量AB表示的复数为z1=1+yi

则向量AC表示的复数为z2=z1*(1/2+√3/2i)或z2=z1*(1/2-√3/2i)

z2=(1+yi)(1/2+√3/2i)=(1/2-√3/2y)+(1/2y+√3/2)i，或

z2=(1+yi)(1/2-√3/2i)=(1/2+√3/2y)+(1/2y-√3/2)i

即点C(a,b)满足参数方程:

a=1/2-√3/2y；b=1/2y+√3/2。或

a=1/2+√3/2y；b=1/2y-√3/2

消去参数y即得到a和b的关系，也就是C的轨迹。

a+√3b=2或a-√3b=2

C的轨迹为两条直线

Answer 2

我使用交轨法，参数方程法等都试过了，都不如这种方法，
所以采用了最直观的方法

以直线为x轴，以定点到直线的距离(设为p)线段作为y轴，建立坐标系。
则直线上的动顶点为(t,0)t是变参，y轴上的另一个顶点为(0,p),p为常数。

设三角形第三个顶点坐标为(x,y)
由三边相等得：y2+(x-t)2=a2+t2 (y-a)2+x2=a2+t2

以上两式整理，，a2,t2均可消掉一个。由第一个式子解出参数t=g(x,y),再把t代入到第二个式子，即得到了x,y的关系式，也就是第三个顶点的轨迹方程。其中方程里面只含有常数a,指定点到定直线的距离

Answer 3

该三角形第3个顶点的轨迹是以第二顶点划平行于原顶点A的等边三角形的对应边的直线与等边三角形的另一边线段或延长线的试点。

Answer 4

写出三条边的直线方程,由于是等边三角形不论其一点在某一固定边直线上作如何移动另一点也必然在自身所在的直线上移动,所以也是一条直线.

Answer 5

根本就不能滑动哪里来的轨迹