Question

矩阵的秩的问题。

如图，问题1：如果B是满秩行矩阵，那么R（A）=R（C）吗？问题2：如果A是满秩行矩阵，结论还成立吗？

Answer 1

问题1，成立。
证明如下：
如果B行满秩，则
R(B)=n
此时，B^TA^T=(AB)^T=C^T
即B^T列满秩，
则R(A^T)=R(C^T)
则R(A)=R(C)

问题2
如果A是行满秩，结论不一定成立，举反例：
分块矩阵A=E O 左边是n阶单位矩阵，右边是n阶0矩阵
分块矩阵B=
E O
E E
上面是n阶单位矩阵，下面是n阶单位矩阵
AB=E O =C

显然R(A)=n
R(B)=2n
R(C)=n
显然此时R(B),R(C)不相等

追问

问题2的A是n阶方阵，B是2n*2n阶的矩阵，A和B不能相乘啊！

Answer 2

B的秩等于n也是可以的，两边取转置就跟题目中的是一样的，矩阵的转置不改变矩阵的秩，所以成立

追问

假如B是方阵，结论就成立啊！

追答

错了，是可以的，两边取转置就可以了

是的

关键就是矩阵没有交换率，要用转置

一样的做法，主要就是转置

能采纳吗？都是手写的

追问

问题2，你没解释清楚啊。。

追答

成立啊，因为矩阵的行秩跟列秩都是一样的，
R（A）＝m，则必然可以找到m个无关的列向量。
这m个向量构成的基，可以表示m维空间的所有向量。
至于m<n
你找出m个无关列向量，剩下的，让对应的x等于0即可。

A是方阵就没有任何问题

能采纳吗？