Question

从时域和频域的角度描述理想抽样和实际抽样的异同点

Answer 1

理想采样是用冲激进行采样，自然采样和瞬时采样都是用矩形方波进行采样。不同之处是自然采样是曲顶采样，瞬时采样是平顶采样。

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比较采用矩形窄脉冲进行抽样与采用冲激脉冲进行抽样(理想抽样)的过程和结果，可以得到以下结论：
（1）它们的调制(抽样)与解调(信号恢复)过程完全相同，差别只是采用的抽样信号不同。
（2）矩形窄脉冲抽样的包络的总趋势是随上升而下降，因此带宽是有限的；而理想抽样的带宽是无限的。矩形窄脉冲的包络总趋势按Sa函数曲线下降，带宽与τ有关。τ越大，带宽越小，τ越小，带宽越大。
（3）τ的大小要兼顾通信中对带宽和脉冲宽度这两个互相矛盾的要求。通信中一般对信号带宽的要求是越小越好，因此要求τ大；但通信中为了增加时分复用的路数要求τ小，显然二者是矛盾的。
在PAM方式中，除了上面所说的形式外，还有别的一些形式。可以看到，上面讨论的已抽样信号的脉冲“顶部”是随变化的，即在顶部保持了变化的规律，这是一种“曲顶”的脉冲调幅；另外还有一种是“平顶”的脉冲调幅。通常把曲顶的抽样方法称为自然抽样，而把平顶的抽样称为瞬时抽样或平顶抽样。下面讨论平顶抽样的PAM方式。
平顶抽样所得到的已抽样信号如图6-6(a)所示，这里每一抽样脉冲的幅度正比于瞬时抽样值，但其形状都相同。从原理上讲，平顶抽样可以由理想抽样和脉冲形成电路得到，实行原理框图如图6-6(b)所示。从原理框图中可以看到，信号首先与相乘，形成理想抽样信号，然后让它通过一个脉冲形成电路，其输出即为所需的平顶抽样信号

图6 平顶抽样信号及其产生原理

脉冲形成电路的作用是将理想抽样得到的冲激脉冲串，变为一系列平顶的脉冲(矩形脉冲)，因此，这种抽样被称为平顶抽样。对于平顶抽样来说，由于脉冲形成电路的输入端是冲击脉冲序列，因此，脉冲形成电路的作用是把冲击脉冲变为矩形脉冲。由此分析，可以得到脉冲形成器输出的数学描述。
设脉冲形成电路的传输函数为，其输出信号频谱应为：

(1-7)

分析式(6-7)可以发现，当n = 0时得到的频谱函数为，与信号的频谱函数进行比较，相差一个系统函数。因此，采用低通滤波器不能直接从中滤出所需基带信号。
为了从已抽样信号中恢复出原基带信号，可以采用图6-7所示的解调原理方框图。

图7 平顶抽样PAM信号恢复及其原理框图

从式(6-7)看出，不能直接使用低通滤波器滤出所需信号的原因在于信号的频谱函数受到了的加权，如果在接收端低通滤波之前用特性为的网络加以修正，则低通滤波器输入信号的频谱变成：

(1-8)

利用式(1-8)的处理，通过低通滤波器便能无失真地恢复。

最后指出，在实际中，平顶抽样的PAM信号常常采用抽样保持电路来实现，得到的脉冲为矩形脉冲。但原理上，只要能够反映瞬时抽样值的任意脉冲形式都是可以被采用的。

三、模拟信号的量化
抽样定理说明了这样一个结论：一个模拟信号可以用它的抽样值充分地代表。例如语言信号是一个时间连续，幅度变化范围连续的波形。虽然在抽样以后，抽样值在时间上变为离散了，但可以证明时间离散的波形中将包含原始语音信号的所有信息。
但是，这种时间离散的信号在幅度上仍然是连续的，它仍属模拟信号。当这种抽样后的信号经过一个有噪声干扰的信道时，信道中的噪声会叠加在抽样值上面，使得接收端不可能精确地判别抽样值的大小。并且噪声叠加在抽样值上的影响是不能消除的，特别是当信号在整个传输系统中采用很多个接力站进行多次中继接力时，噪声将会是累积的。接力站越多，累积的噪声越大。
为了消除这种噪声的累积，可以在发送端用有限个预先规定好的电平来表示抽样值，再把这些有限个预先规定的电平编为二进制代码组，然后通过信道传输。如果再采用某种适当的措施，就能够使得接收端准确地判定发送来的二进制代码，这样就可以把信道的噪声影响彻底消除了。利用这种传输方式进行多次中继接力时，噪声是不会累积的。
用有限个电平来表示模拟信号抽样值被称为量化。抽样是把时间连续的模拟信号变成了时间上离散的模拟信号，量化则进一步把时间上离散但幅度上仍然连续的信号变成了时间上和幅度上都离散了的信号，显然这种信号就是数字信号了。但这个数字信号不是一般的二进制数字信号，而是多进制数字信号，真正在信道中传输的信号是经过编码变换后的二进制(或四进制等)数字信号。
图8给出了一个量化过程的例子。

图8 量化过程示意图

图中模拟信号按照适当抽样间隔进行均匀抽样，在各抽样时刻上的抽样值用“”表示，第k个抽样值为，量化值在图上用符号Δ表示。抽样值在量化时转换为Q个规定电平中的一个。为作图简便起见，图6-8中假设只有等7个电平，也就是有7个量化级。按照预先规定，量化电平可以表示为：

(1-9)

因此，量化器的输出是阶梯形波，这样可以表示为：

(1-10)

结合图6-8以及上面的分析可知，量化后的信号是对原来信号的近似。当抽样速率一定时，随着量化级数目增加，可以使与近似程度提高。
由于量化后的信号是对原来信号的近似，因此，和存在误差，这种误差被称为量化误差。量化误差一旦形成，在接收端是无法去掉的，这个量化误差像噪声一样影响通信质量，因此也称为量化噪声。由量化误差产生的功率称为量化噪声功率．通常用符导表示，而由产生的功率称为量化信号功率，用表示。而量化信号功率与量化噪声功率之比，被称为量化信噪功率比，它是衡量量化性能好坏的最常用的指标。通常它被定义为：

(1-11)

图8所表示的量化，其量化间隔是均匀的，这种量化过程被称为均匀量化。还有一种量化间隔不均匀的量化过程，通常被称为非均匀量化。非均匀量化克服了在均匀量化过程中，小信号量化信噪比低的缺点，增大了输入信号的动态范围。下面就分别进行介绍。
1、均匀量化和量化信噪功率比
把原来信号值域按等幅值分割的量化过程被称为均匀量化，图6-8所示的量化过程就是均匀量化。从图上可以看到，每个量化区间的量化电平均取在各区间的中点。其量化间隔(量化台阶)Δ取决于的变化范围和量化电平数。当信号的变化范围和量化电平数确定后，量化间隔也被确定。例如，假如信号的最小值和最大值分别用a和b表示，量化电平数为Q，那么均匀量化时的量化间隔为：

(1-12)

为了简化公式的表述，可以把模拟信号的抽样值简写为，把相应的量化值简写为，这样量化值可按下式产生：

(1-13)

式中：

量化后得到的Q个电平，可以通过编码器编为二进制代码，通常Q选为，这样Q个电平可以编为k位二进制代码。下面来分析均匀量化时的量化信噪比。
设在某一个范围内变化时，量化值取各段中的中点值，其对应关系如图6-9(a)所示，相应的量化误差与的关系用图6-9(b)表示。

图9 量化和量化误差曲线

由图6-9(a)可以看出，量化后信号功率为：

(1-14)

同样由图6-9(b)可以看出，量化噪声功率为：

(1-15)

假设信号的幅值在(-a , a)范围内均匀分布，这时概率密度函数，这样就有：

(1-16)

经计算信号和量化噪声的功率分别为：

(1-17)
(1-18)

因此，量化信噪比为：

(1-19)

(1-20)

k是表示量化阶的二进制码元个数，从式(6-20)可以看到，量化阶的Q值越大，用以表述的二进制码组越长，所得到的量化信噪比越大，信号的逼真度就越好。

上述均匀量化的主要缺点是，无论抽样值大小如何，量化噪声的均方根值都固定不变。因此，当信号较小时，则信号的量化信噪比也就很小，这样，对于弱信号时的量化信噪比就难以达到给定的要求。通常，把满足信噪比要求的输入信号取值范围定义为信号的动态范围。可见，均匀量化时的信号动态范围将受到较大的限制。为了克服这个缺点，实际中，往往采用非均匀量化。

2、非均匀量化
非均匀量化是根据信号的不同区间来确定量化间隔的。对于信号取值小的区间，其量化间隔也小，反之，量化间隔就大。这样可以提高小信号时的量化信噪比，适当减小大信号时的信噪功率比。它与均匀量化相比，有两个突出的优点：
（1）当输入量化器的信号具有非均匀分布的概率密度(例如语音)时，非均匀量化器的输出端可以得到较高的平均信号量化信噪比；
（2）非均匀量化时，量化噪声功率的均方根值基本上与信号抽样值成比例。因此量化噪声对大、小信号的影响大致相同，即改善了小信号时的量化信噪比。
实际中，非均匀量化的实现方法通常是将抽样值通过压缩再进行均匀量化。所谓压缩就是实际上是对大信号进行压缩而对小信号进行较大的放大的过程。信号经过这种非线性压缩电路处理后，改变了大信号和小信号之间的比例关系，使大信号的比例基本不变或变得较小，而小信号相应地按比例增大，即“压大补小”。在接收端将收到的相应信号进行扩张，以恢复原始信号对应关系。扩张特性与压缩特性相反。
目前在数字通信系统中采用两种压扩特性，它们分别是美国采用μ压缩律以及我国和欧洲各国采用A压缩律。下面分别讨论μ压缩律和A压缩律的原理，这里只讨论的范围，而的关系曲线和的关系曲线是以原点奇对称关系。

(1)μ压缩律

所谓μ压缩律就是压缩器的压缩特性具有如下关系的压缩律，即

(1-21)

式中：表示归一化的压缩器输出电压；
表示归一化的压缩器输入电压；
μ是压扩参数，表示压缩的程度。
图6-10就表示了对于不同μ情况下的压缩特性曲线

图10 μ律压缩特性

由图可见，当μ＝0时，压缩特性是通过原点的一条直线，故没有压缩效果；当μ值增大时，压缩作用明显，对改善小信号的性能也有利。通常当μ＝100时，压缩器的效果就比较理想了。同时需要指出μ律压缩特性曲线是以原点奇对称的，图中只画出了正向部分。
下面就来说明μ律压缩特性对小信号量化信噪比的改善程度，这里假设μ＝100。对于小信号的 情况有：

在大信号时，也就是＝1，那么

与μ＝0时无压缩特性进行比较可以看到，当μ＝100时，对于小信号的情况例如，量化间隔比均匀量化时减小了21.7倍，因此，量化误差大大降低；而对于大信号的情况例如，量化间隔比均匀量化时增大了4.67倍，量化误差增大了。这样实际上就实现了“压大补小”的效果。
为了说明压扩特性的效果，图6-11给出了有无压扩时的比较曲线，其中μ＝0表示无压扩时的量化信噪比，μ＝100表示有压扩时的量化信噪比。由图可见，无压扩时，量化信噪比随输入信号的减小迅速下降，而有压扩时，量化信噪比随输入信号的下降却比较缓慢。若要求量化器输出信噪比大于26dB，那么，对于μ＝0时，输入信号必须大于-18dB；而对于μ＝100时，输入信号只要大于-36dB即可。可见，采用压扩提高了小信号的量化信噪比，从而相当于扩大了输入信号的动态范围。

图6-11 无压扩时的比较曲线

(2)A压缩律

所谓A压缩律也就是压缩器具有如下特性的压缩律：

(1-22)

式中：表示归一化的压缩器输出电压；
表示归一化的压缩器输入电压；
A是压扩参数，表示压缩的程度。
作为常数的压扩参数A，一般为一个较大的数，例如A＝87.6。在这种情况下，可以得到的放大量：

(1-23)

当信号X很小时(即小信号时)，从式(6-23)可以看到信号被放大了16倍，这相当于与无压缩特性比较，对于小信号的情况，量化间隔比均匀量化时减小了16倍，因此，量化误差大大降低；而对于大信号的情况例如，量化间隔比均匀量化时增大了5.47倍，量化误差增大了。这样实际上就实现了“压大补小”的效果。
上面只讨论了＞0的范围，实际上和均在之间变化，因此，和的对应关系曲线是在第一象限与第三象限奇对称。为了简便，＜0的关系表达式未进行描述，但对式(6-23)进行简单的修改就能得到。
（3）数字压扩技术
按式(6-22)得到的A律压扩特性是连续曲线，A的取值不同其压扩特性亦不相同，而在电路上实现这样的函数规律是相当复杂的。为此，人们提出了数字压扩技术，其基本思想是这样的：利用大量数字电路形成若干根折线，并用这些折线来近似对数的压扩特性，从而达到压扩的目的。
用折线实现压扩特性，它既不同于均匀量化的直线，又不同于对数压扩特性的光滑曲线。虽然总的来说用折线作压扩持性是非均匀量化，但它既有非均匀(不同折线有不同斜率)量化，又有均匀量化(在同一折线的小范围内)。有两种常用的数字压扩技术，一种是13折线A律压扩，它的特性近似A＝87.6的A律压扩特性。另一种是15折线μ律压扩，其特性近似μ＝255的μ律压扩特性。下面将主要介绍13折线A律压扩技术，简称13折线法。关于15折线μ律压扩请读者阅读有关文献。
图12展示了这种13折线A律压扩特性。

图12 13折线

从图6-12中可以看到，先把轴的0～1分为8个不均匀段，其分法是：将0～1之间一分为二，其中点为1/2，取1/2～1之间作为第八段；剩余的0～1/2再一分为二，中点为1/4，取1/4～1/2之间作为第七段，再把剩余的0～1/4一分为二，中点为1/8，取1/8～1/4之间作为第六段，依此分下去，直至剩余的最小一段为0～1/128作为第一段。
而轴的0～1均匀地分为八段，它们与轴的八段一一对应。从第一段到第八段分别为，0～1/8，1/8～2/8，…，7/8～1。这样，便可以作出由八段直线构成的一条折线。该折线与式(6-22)表示的压缩特性近似。
由图6-12中曲折线可以看出，除一、二段外，其他各段折线的斜率都不相同，它们的关系如表6-1所示。

表6-1 各段落的斜率

折线段落

1

2

3

4

5

6

7

8

斜率

16

16

8

4

2

1

1/2

1/4

至于当在-1～0及在-1～0的第三象限中，压缩特性的形状与以上讨论的第一象限压缩待性的形状相同，且它们以原点奇对称，所以负方向也有八段直线，合起来共有16个线段。由于正向一、二两段和负向一、二两段的斜率相同，这四段实际上为一条直线，因此，正、负双向的折线总共由13条直线段构成，故称其为13折线。
13折线压扩特性的包含16个折线段，在输入端，如果将每个折线段再均匀地划分16个量化等级，也就是在每段折线内进行均匀量化的，这样第一段和第二段的最小量化隔相同，为：

(1-24)

输出端由于是均匀划分的，各段间隔均为1/8，每段再16等分，因此每个量化级间隔为1/(8×16)＝1/128。
用13折线法进行压扩和量化后，可以做出量化信噪比与输入信号间的关系曲线如图6-13所示。

图13 两种编码方法量化信噪比的比较

从图中可以看到在小信号区域，量化信噪比与12位线性编码的相同，但在大信号区域13折线法8位码的量化信噪比不如12位线性编码。
以上较详细地讨论了A律的压缩原理。至于扩张，实际上是压缩的相反过程只要掌握了压缩原理就不难理解扩张原理。限于篇幅，故不再赘述。
四、脉冲编码调制原理(PCM)
如图7-1所示，模拟信号经过抽样和量化以后，可以得到一系列输出，它们共有Q个电平状态。当Q比较大时，如果直接传输Q进制的信号，其抗噪声性能将会是很差的，因此，通常在发射端通过编码器把Q进制信号变换为k位二进制数字信号。而在接收端将收到的二进制码元经过译码器再还原为Q进制信号，这种系统就是脉冲编码调制(PCM)系统。
简而言之，把量化后的信号变换成代码的过程称为编码，其相反的过程称为译码。编码不仅用于通信，还广泛用于计算机、数字仪表、遥控遥测等领域。编码方法也是多种多样的，在现有的编码方法中，若按编码的速度来分，大致可分为两大类：低速编码和高速编码。通信中一般都采用第二类。编码器的种类大体上可以归结为三种：逐次比较(反馈)型、折叠级联型、混合型。这几种不同型式的编码器都具有自己的特点，但限于篇幅，这里仅介绍目前用得较为广泛的逐次比较型编码和译码原理。
在讨论这种编码原理以前，需要明确常用的编码码型及码位数的选择和安排。
1.常用的二进制编码码型
二进制码具有很好的抗噪声性能，并易于再生，因此PCM中一般采用二进制码。对于Q个量化电平，可以用k位二进制码来表示，称其中每一种组合为一个码字。通常可以把量化后的所有量化级，按其量化电平的某种次序排列起来，并列出各对应的码字，而这种对应关系的整体就称为码型。在PCM中常用的码型有自然二进制码、折叠二进制码和反射二进制码(又称格雷码)。如以4位二进制码字为例，则上述3种码型的码字如表6-2所示：

表2 4位二进制码码型

量化级编号

自然二进制码

折叠二进制码

反射二进制码

0

0000

0111

0000

1

0001

0110

0001

2

0010

0101

0011

3

0011

0100

0010

4

0100

0011

0110

5

0101

0010

0111

6

0110

0001

0101

7

0111

0000

0100

8

1000

1000

1100

9

1001

1001

1101

10

1010

1010

1111

11

1011

1011

1110

12

1100

1100

1010

13

1101

1101

1011

14

1110

1110

1001

15

1111

1111

1000

自然码是大家最熟悉的二进制码，从左至右其权值分别为8、4、2、1，故有时也被称为8-4-2-1二进制码。
折叠码是目前A律13折线PCM 30/32路设备所采用的码型。这种码是由自然二进码演变而来的，除去最高位，折叠二进码的上半部分与下半部分呈倒影关系(折叠关系)。上半部分最高位为0，其余各位由下而上按自然二进码规则编码；下半部分最高位为1，其余各位由上向下按自然码编码。这种码对于双极性信号(话音信号通常如此)，通常可用最高位去表示信号的正、负极性，而用其余的码去表示信号的绝对值，即只要正、负极性信号的绝对值相同，则可进行相同的编码。这就是说，用第一位码表示极性后，双极性信号可以采用单极性编码方法。因此采用折叠二进码可以大为简化编码的过程。
除此之外，折叠二进制码还有另一个优点，那就是在传输过程中如果出现误码，对小信号影响较小。例如由大信号的1111误为0111，从表6-2可看到，对于自然二进码解码后得到的样值脉冲与原信号相比，误差为8个量化级；而对于折叠二进码，误差为15个量化级。显然，大信号时误码对折叠码影响很大。如果误码发生在小信号，例如1000误为0000，这时情况就大下相同了，对于自然二进码误差还是8个量化级，而对于折叠二进码误差却只有一个量化级。这一特性是十分可贵的，因为，话音小幅度信号出现的概率比大幅度信号出现的概率要大。
在介绍反射二进码之前，首先了解一下码距的概念。码距是指两个码字的对应码位取不同码符的位数。在表6-2中可以看到，自然码相邻两组码字的码距最小为1，最大为4(如第7号码字0111与第8号码组l000间的码距)。而折叠二进码相邻两组码字最大码距为3(如第3号码字0100与第4号码字0011)。
反射二进码是按照相邻两组码字之间只有一个码位的码符不同(即相邻两组码的码距均为1)而构成的，如表6-2所示，其编码过程如下：从0000开始，由后(低位)往前(高位)每次只变一个码符，而且只有当后面的那位码不能变时，才能变前面一位码。这种码通常可用于工业控制当中的继电器控制，以及通信中采用编码管进行的编码过程。
上述分析是在4位二进制码字基础上进行的，实际上码字位数的选择在数字通信中非常重要，它不仅关系到通信质量的好坏，而且还涉及到通信设备的复杂程度。码字位数的多少，决定了量化分层(量化级)的多少。反之，若信号量化分层数一定，则编码位数也就被确定。可见，在输入信号变化范围一定时，用的码字位数越多，量化分层越细，量化噪声就越小，通信质量当然就越好，但码位数多了，总的传输码率会相应增加，这样将带来一些新的问题。
2. 13折线的码位安排
在逐次比较型编码方式中，无论采用几位码，一般均按极性码、段落码和段内码的顺序对码位进行安排。下面就结合我国采用的13折线的编码来加以说明。
在13折线法中，无论输入信号是正还是负，均按8段折线(8个段落)进行编码。若用8位折叠二进制码来表示输入信号的抽样量化值时，其中用第一位表示量化值的极性，其余7位(第二位至第八位)则可表示抽样量化值的绝对大小。具体做法是：用第二至第四位(段落码)的8种可能状态来分别代表8个段落，其它4位码(段内码)的16种可能状态用来分别代表每一段落的16个均匀划分的量化级。上述编码方法是把压缩、量化和编码合为一体的方法。根据上述分析，用于13折线A律特性的8位非线性编码的码组结构如下：

第1位码M的数值“1”或“0”分别代表信号的正、负极性，称为极性码。从折叠二进制码的规律可知，对于两个极性不同，但绝对值相同的样值脉冲，用折叠码表示时，除极性码M1不同外，其余几位码是完全一样的。因此在编码过程中，只要将样值脉冲的极性判出后，编码器是以样值脉冲的绝对值进行量化和输出码组的。这样只要考虑13折线中对应于正输入信号的8段折线就行了。
第2位至第4位码即M2M3M4称为段落码，因为8段折线用3位码就能表示。具体划分如表6-3所示。