Question

函数y=√x+1/x+2的值域

函数y=x+2分之根号下x+1的值域是多少？

Answer 1

先求定义域

x+1≥0且x+2≠0，得x≥-1

导数求起来方便点

y’=1/〔2（x+2）√（x+1）〕-√（x+1）/（x+2）^2

令y’=0，得1/〔（x+2）√（x+1）〕=√（x+1）/（x+2）^2

得x=0（x=-2不取）

所以x=0是函数y的驻点，也是y的极值点

x∈〔-1，0〕时，y’>0,所以y单调递增的，

即x=0，ymax=1/2，x=-1时，ymin=0

x∈〔0，+∞）时，y’<0,所以y是单调递减的

即x=0，ymax=1/2，

所以此函数的值域为〔0，1/2〕

Answer 2

∵y≥0
所以 y^2=(x+1)/(x+2)^2
1/y^2=(x+2)^2/(x+1)=[(x+1)^2+2(x+1)+1]/(x+1)
=(x+1) +2+1/(x+1)
由基本不等式得 1/y^2 ≥4 →y^2 ≤1/4
∵ y≥0
∴y∈[0 1/2]

Answer 3

0≤y≤1/2

x≥-1
1)求导判断增减，x∈[-1,0)增，x∈（0，+∞）减，∴在x=0取最大值1/2，x=-1取最小值0；
2）令右边=k，k≥0是显然的，可化得1/k=√x+1 +1/√x+1，用均值不等式1/k≥2，则k≤1/2

Answer 4

x+1>=0 得 x>=-1
所以y>=0