求f(z)=1/(z-1)(z-2)在圆环域1< | z | <2的洛郎级数

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解:f(z)=1/(z-2)-1/(z-1)。

当1<|z|<2时,|z|/2<1,1/|z|<1,故,1/(z-2)=(-1/2)/(1-z/2)=(-1/2)∑(z/2)^n;1/(z-1)=(1/z)/(1-1/z)=(1/z)∑(1/z)^n。

所以,f(z)=-∑(1/Z)^(n+1)-(1/2)∑(z/2)^n。其中,n=0,1,2…

扩展资料

随着洛朗级数负次数的增长,图像接近正确的函数。 e和洛朗近似的负次数的增长。奇点零的邻域不能被近似。

考虑例如函数,它的 。作为实变函数,它是处处无穷可微的;但作为一个复变函数,在x = 0处不可微。用−1/x替换指数函数的幂级数展开式中的x,我们得到其洛朗级数,对于除了奇点X = 0以外的所有复数,它都收敛并等于ƒ(x)。

复系数洛朗级数是复分析中的一个重要工具,尤其在研究函数奇点附近的行为时。

e和洛朗近似:见文中解释。随着洛朗级数负次数的增长,图像接近正确的函数。 e和洛朗近似的负次数的增长。奇点零的邻域不能被近似。

考虑例如函数,它的 。作为实变函数,它是处处无穷可微的;但作为一个复变函数,在x = 0处不可微。用−1/x替换指数函数的幂级数展开式中的x,我们得到其洛朗级数,对于除了奇点X = 0以外的所有复数,它都收敛并等于ƒ(x)。

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解:f(z)=1/(z-2)-1/(z-1)。

当1<|z|<2时,|z|/2<1,1/|z|<1,故,1/(z-2)=(-1/2)/(1-z/2)=(-1/2)∑(z/2)^n;1/(z-1)=(1/z)/(1-1/z)=(1/z)∑(1/z)^n。

所以,f(z)=-∑(1/Z)^(n+1)-(1/2)∑(z/2)^n。其中,n=0,1,2……。

函数f(z)关于点c的洛朗级数由下式给出:

其中Cn是常数,由以下的路径积分定义,它是柯西积分公式的推广:

积分路径γ是位于圆环A内的一条逆时针方向的可求长曲线,把c包围起来,在这个圆环内是全纯的(解析的)。的洛朗级数展开式在这个圆环内的任何地方都是正确的。如果我们让是一个圆 ,其中 ,这就相当于要计算的限制到上的复傅里叶系数。这些积分不随轮廓的变形而改变是斯托克斯定理的直接结果。

扩展资料:

随着洛朗级数负次数的增长,图像接近正确的函数。 e和洛朗近似的负次数的增长。奇点零的邻域不能被近似。

考虑例如函数,它的 。作为实变函数,它是处处无穷可微的;但作为一个复变函数,在x = 0处不可微。用−1/x替换指数函数的幂级数展开式中的x,我们得到其洛朗级数,对于除了奇点X = 0以外的所有复数,它都收敛并等于ƒ(x)。

显示了e(黑色)和它的洛朗近似对于N = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7到50。当N → ∞,近似对除了奇点x = 0处的所有复数x都很精确。

更一般地,洛朗级数可以用来表达定义在圆环上的全纯函数,就像幂级数被用于表达一个圆盘上定义全纯函数一样。

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解:f(z)=1/(z-2)-1/(z-1)。
当1<|z|<2时,|z|/2<1,1/|z|<1,故,1/(z-2)=(-1/2)/(1-z/2)=(-1/2)∑(z/2)^n;1/(z-1)=(1/z)/(1-1/z)=(1/z)∑(1/z)^n。
所以,f(z)=-∑(1/Z)^(n+1)-(1/2)∑(z/2)^n。其中,n=0,1,2……,。
供参考。
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