求f（z）＝1/（z-1）（z-2）在圆环域1＜ | z | ＜2的洛郎级数
解：f(z)=1/(z-2)-1/(z-1)。
当1<|z|<2时，|z|/2<1，1/|z|<1，故，1/(z-2)=(-1/2)/(1-z/2)=(-1/2)∑(z/2)^n；1/(z-1)=(1/z)/(1-1/z)=(1/z)∑(1/z)^n。
所以，f(z)=-∑(1/Z)^(n+1)-(1/2)∑(z/2)^n。其中，n=0,1,2…
扩展资料
随着洛朗级数负次数的增长，图像接近正确的函数。 e和洛朗近似的负次数的增长。奇点零的邻域不能被近似。
考虑例如函数，它的 。作为实变函数，它是处处无穷可微的；但作为一个复变函数，在x = 0处不可微。用−1/x替换指数函数的幂级数展开式中的x，我们得到其洛朗级数，对于除了奇点X = 0以外的所有复数，它都收敛并等于ƒ(x)。
复系数洛朗级数是复分析中的一个重要工具，尤其在研究函数奇点附近的行为时。
e和洛朗近似：见文中解释。随着洛朗级数负次数的增长，图像接近正确的函数。 e和洛朗近似的负次数的增长。奇点零的邻域不能被近似。
考虑例如函数，它的 。作为实变函数，它是处处无穷可微的；但作为一个复变函数，在x = 0处不可微。用−1/x替换指数函数的幂级数展开式中的x，我们得到其洛朗级数，对于除了奇点X = 0以外的所有复数，它都收敛并等于ƒ(x)。
解：f(z)=1/(z-2)-1/(z-1)。
当1<|z|<2时，|z|/2<1，1/|z|<1，故，1/(z-2)=(-1/2)/(1-z/2)=(-1/2)∑(z/2)^n；1/(z-1)=(1/z)/(1-1/z)=(1/z)∑(1/z)^n。
所以，f(z)=-∑(1/Z)^(n+1)-(1/2)∑(z/2)^n。其中，n=0,1,2……。
函数f(z)关于点c的洛朗级数由下式给出：
其中Cn是常数，由以下的路径积分定义，它是柯西积分公式的推广：
积分路径γ是位于圆环A内的一条逆时针方向的可求长曲线，把c包围起来，在这个圆环内是全纯的（解析的）。的洛朗级数展开式在这个圆环内的任何地方都是正确的。如果我们让是一个圆 ，其中 ，这就相当于要计算的限制到上的复傅里叶系数。这些积分不随轮廓的变形而改变是斯托克斯定理的直接结果。
扩展资料：
随着洛朗级数负次数的增长，图像接近正确的函数。 e和洛朗近似的负次数的增长。奇点零的邻域不能被近似。
考虑例如函数，它的 。作为实变函数，它是处处无穷可微的；但作为一个复变函数，在x = 0处不可微。用−1/x替换指数函数的幂级数展开式中的x，我们得到其洛朗级数，对于除了奇点X = 0以外的所有复数，它都收敛并等于ƒ(x)。
显示了e（黑色）和它的洛朗近似对于N = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7到50。当N → ∞，近似对除了奇点x = 0处的所有复数x都很精确。
更一般地，洛朗级数可以用来表达定义在圆环上的全纯函数，就像幂级数被用于表达一个圆盘上定义全纯函数一样。
当1<|z|<2时，|z|/2<1，1/|z|<1，故，1/(z-2)=(-1/2)/(1-z/2)=(-1/2)∑(z/2)^n；1/(z-1)=(1/z)/(1-1/z)=(1/z)∑(1/z)^n。
所以，f(z)=-∑(1/Z)^(n+1)-(1/2)∑(z/2)^n。其中，n=0,1,2……，。
供参考。
