高考数学 填空题第十七题 求详细解答 50
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b=1-a,0<=a<=1，
y=3√（1+2a^2）+2√[40+9(1-a)^2]
=3√(1+2a^2)+2√(49-18a+9a^2),
y'=6a/√(1+2a^2)+(18a-18)/√(49-18a+9a^2)=0,
a√(49-18a+9a^2)=(3-3a)√(1+2a^2),①
平方得a^2(49-18a+9a^2)=(9-18a+9a^2)(1+2a^2),
18a^4-36a^3+27a^2-18a+9
-9a^4+18a^3-49a^2=0,
9a^4-18a^3-22a^2-18a+9=0,
9(a^2+1/a^2)-18(a+1/a)-22=0,
9(a+1/a)^2-18(a+1/a)-40=0,
|a+1/a|=|a|+1/|a|>=2,
∴a+1/a=10/3,
解得a=1/3(舍去a=3），
此时,y=5√11；
a=0时y=17;a=1时y=3√3+4√10≈17.8.
综上，y的最大值=3√3+4√10.
y=3√（1+2a^2）+2√[40+9(1-a)^2]
=3√(1+2a^2)+2√(49-18a+9a^2),
y'=6a/√(1+2a^2)+(18a-18)/√(49-18a+9a^2)=0,
a√(49-18a+9a^2)=(3-3a)√(1+2a^2),①
平方得a^2(49-18a+9a^2)=(9-18a+9a^2)(1+2a^2),
18a^4-36a^3+27a^2-18a+9
-9a^4+18a^3-49a^2=0,
9a^4-18a^3-22a^2-18a+9=0,
9(a^2+1/a^2)-18(a+1/a)-22=0,
9(a+1/a)^2-18(a+1/a)-40=0,
|a+1/a|=|a|+1/|a|>=2,
∴a+1/a=10/3,
解得a=1/3(舍去a=3），
此时,y=5√11；
a=0时y=17;a=1时y=3√3+4√10≈17.8.
综上，y的最大值=3√3+4√10.
追问
能不能尝试用一下牛顿切线法
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