Question

数学问题求解 求幂级数的收敛域

Answer 1

幂级数的相邻两项的系数比值为[3^(n+1)/(n+1)]/[3^n/n]=3n/n+1，当n趋近于无穷大，比值为3,也就是收敛半径的倒数，所以收敛半径为1/3，（-1/3,1/3）收敛
当x=1/3时候，幂级数=1+1/2+1/3+……为调和级数，发散
当x=-1/3时候，幂级数=-1+1/2-1/3+……为交错级数，每一项的系数的绝对值逐渐减小并且趋近于0，所以由莱布尼茨判别法知道收敛
所以[-1/3,1/3）为收敛域