设f(x)=1/1+x x≥0,f(x)=1/1+e^x+1 x＜0 ,求∫20 f(x-1)dx
∫[0→2] f(x-1)dx
令x-1=u，则dx=du，u:-1→1
=∫[-1→1] f(u)du
=∫[-1→0] f(u)du+∫[0→1] f(u)du
=∫[-1→0] 1/(1+e^(u+1))du+∫[0→1] 1/(1+u) du
=∫[-1→0] e^(u+1)/[e^(u+1)(1+e^(u+1))]du+ln(u+1) |[0→1]
=∫[-1→0] 1/[e^(u+1)(1+e^(u+1))]d(e^(u+1))+ln2
=∫[-1→0] 1/e^(u+1)d(e^(u+1))-∫[-1→0] 1/(1+e^(u+1))d(e^(u+1))+ln2
=ln[e^(u+1)]-ln[e^(u+1)+1]+ln2 |[-1→0]
=1-ln(e+1)+ln2+ln2
=1+2ln2-ln(e+1)
连续函数，一定存在定积分和不定积分；若在有限区间[a,b]上只有有限个间断点且函数有界，则定积分存在；若有跳跃、可去、无穷间断点，则原函数一定不存在，即不定积分一定不存在。
扩展资料：
在一个区间上导数恒为零的函数必为常数，所以G(x)-F(x)=C’(C‘为某个常数)。
这表明G(x)与F(x)只差一个常数.因此,当C为任意常数时，表达式F(x)+C就可以表示f(x)的任意一个原函数。也就是说f(x)的全体原函数所组成的集合就是函数族{F(x)+C|-∞<C<+∞}。
定积分是把函数在某个区间上的图象[a,b]分成n份，用平行于y轴的直线把其分割成无数个矩形，再求当n→+∞时所有这些矩形面积的和。
用黎曼自己的话来说，就是把直角坐标系上的函数的图象用平行于y轴的直线把其分割成无数个矩形，然后把某个区间[a,b]上的矩形累加起来，所得到的就是这个函数的图象在区间[a,b]的面积。实际上，定积分的上下限就是区间的两个端点a，b。
参考资料来源：百度百科——不定积分
简单计算一下即可，答案如图所示
令x-1=u，则dx=du，u:-1→1
=∫[-1→1] f(u)du
=∫[-1→0] f(u)du+∫[0→1] f(u)du
=∫[-1→0] 1/(1+e^(u+1))du+∫[0→1] 1/(1+u) du
=∫[-1→0] e^(u+1)/[e^(u+1)(1+e^(u+1))]du+ln(u+1) |[0→1]
=∫[-1→0] 1/[e^(u+1)(1+e^(u+1))]d(e^(u+1))+ln2
=∫[-1→0] 1/e^(u+1)d(e^(u+1))-∫[-1→0] 1/(1+e^(u+1))d(e^(u+1))+ln2
=ln[e^(u+1)]-ln[e^(u+1)+1]+ln2 |[-1→0]
=1-ln(e+1)+ln2+ln2
=1+2ln2-ln(e+1)
