Question

如图 抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A,B（4,0）两点，与y轴交于点C（0,4）

如图 抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A,B（4,0）两点，与y轴交于点C（0,4）。（1）求抛物线的表达式;（2）连接AC，BC，求tan∠CAO的值（3）动点E以每秒1个单位长度的速度沿A到B方向匀速运动，过点E做EF∥y轴，设点E运动时间为t（0≤t≤6）秒，运动过程中直线EF在△ABC中扫过的面积为S，求S与t的函数关系式；（4）若点M,N在线段BC上，点Q，P在第一象限的抛物线上，且四边形MNQP是正方形，求点M的坐标。

Answer 1

解答：
f(x)=x~3+x~2+x+3的导数为g(x)=3x^2+2x+1,
当x=-1时,g(x)=3x^2+2x+1=2,
即切线斜率为2.
当x=-1时,f(x)=x~3+x~2+x+3=2
故抛物线y~2=2px的切线也过点(-1,2),
故抛物线y~2=2px的切线为:y-2=2*(x+1),即y=2x+4,
由切线与抛物线y~2=2px(p>0)相切,
故把2x=y-4代入y~2=2px,得
y^2=2px=p*(y-4),即y^2-py+4p=0
故判别式=p^2-4*4p=0,
得p=16或p=0(不合,舍去)
f(X)=x3+ax2+bx+c求导得f‘(X)=3x2+2ax+b
在x=-2/3与x=1时都取得极值所以
f‘(-2/3)=0 4/3-4/3a+b=0
f‘(1)=0 3+2a+b=0
解得a=-1/2 b=-2
∴f(X)=x3-1/2x2-2x+c
对x∈[-1,2]都有f(x)＜c2 恒成立
f‘(X)=3x2-x-2=3(x-1/6)2-25/12
在x=-2/3与x=1时都取得极值
所以x∈[-1,-2/3]单调递增x∈[-2/3，1]单调递减x∈[1，2]单调递增求f(-2/3)f(2)得
∴x∈[-1,2]，f(x)max=2+C
x∈[-1,2]都有f(x)＜c2 恒成立
∴2+c＜c2
∴-1＜c＜2