Question

高等数学求原函数的问题

高等数学求原函数的问题图中两个题目做的对不对啊？我感觉第一题就应该是图中的答案啊，但是张宇说第一题的f(x)没有原函数，有点搞不懂。求解一下

Answer 1

“如果f(x)连续，则一定存在原函数；
如果f(x)不连续，有第一类可去、跳跃间断点或第二类无穷间断点，那么包含此间断点的区间内，一定不存在原函数；
如果f(x)不连续，有第二类振荡间断点，那么包含此间断点的区间内，原函数可能存在，也可能不存在。”

第一题f(x)有无穷间断点x=0，且函数在f(0)处有定义，也就不存在原函数。你写的F(x)在x=0处不连续，自然不可导，也就不是f(x)的原函数。
第二题f(x)有振荡间断点x=0，而原函数在x=0处的左右极限相等，就能补充定义F(0)=0，原函数存在。

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非常感谢

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不客气

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还有个问题可以帮我解答一下吗

Answer 2

∂Q/∂x = ∂[y/(x+y)^2]/∂x = -2y(x+y)^3,
∂P/∂y = ∂[(x+2y)/(x+y)^2]/∂y
= [2(x+y)^2-2(x+2y)(x+y)]/(x+y)^4 = -2y/(x+y)^3
则 [(x+2y)dx+ydy]/(x+y)^2 是函数 u(x,y) 的全微分，即它存在原函数。
u(x,y) = ∫<x0, x> P(x, y0)dx + ∫<y0, y> Q(x, y)dy,
此时不能取 x0 = y0 = 0, 不妨取 x0 = 1， y0 = 0
u(x,y) = ∫<1, x> (1/x)dx + ∫<0, y> [y/(x+y)^2]dy
= ln|x| + x/(x+y)-1+ln|x+y|-ln|x| = x/(x+y)+ln|x+y|-1 = C1
则原函数是 x/(x+y)+ln|x+y| = C

Answer 3

因为这里书写不便，故将我的答案做成图像贴于下方，谨供楼主参考（若图像显示过小，点击图片可放大）